Интегральные преобразования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

 Tf(u) = \int\limits_{S}K(t, u)\, f(t)\, dt,

где функции ~f, Tf называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства ~L, при этом функция ~K называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

 f(t) = \int\limits_{S'} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)[править | править исходный текст]

Если интегральное преобразовании и его обращение заданы формулами

 Tf(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt,
 f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)
Преобразование Обозначение K t1 t2 K^{-1} u1 u2
Преобразование Фурье \mathcal{F} \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
Синус-преобразование Фурье \mathcal{F}_s \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\, \frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\,
Косинус-преобразование Фурье \mathcal{F}_c \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\, \frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}} 0\, \infty\,
Преобразование Хартли \mathcal{H} \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
Преобразование Меллина \mathcal{M} t^{u-1}\, 0\, \infty\, \frac{t^{-u}}{2\pi i}\, c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Двустороннее преобразование Лапласа \mathcal{B} e^{-ut}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Преобразование Лапласа \mathcal{L} e^{-ut}\, 0\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Преобразование Вейерштрасса (англ.)русск. \mathcal{W} \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Преобразование Ханкеля t\,J_\nu(ut) 0\, \infty\, u\,J_\nu(ut) 0\, \infty\,
Интегральное преобразование Абеля \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} u\, \infty\, \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} t\, \infty\,
Преобразование Гильберта \mathcal{H}il \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\, \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\,
Ядро Пуассона \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} 0\, 2\pi\,
Идентичное преобразование \delta (u-t)\, t_1<u\, t_2>u\, \delta (t-u)\, u_1\!<\!t u_2\!>\!t

Список интегральных преобразований[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]