Преобразование Меллина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо в честь Я. Меллина.

Определение[править | править вики-текст]

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx.

Обратное преобразование — формулой

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина (англ.)русск..

Связь с другими преобразованиями[править | править вики-текст]

 \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s).

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s).
\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is).

Обратно:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(is).

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона-Меллина-Ньютона.

Примеры[править | править вики-текст]

Интеграл Каена-Меллина[править | править вики-текст]

Если

то[1]

e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds,
где
\Gamma(s) — гамма-функция

Преобразование Меллина для Лебегова пространства[править | править вики-текст]

В Гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для Лебегова пространства L^2(0,\infty) любая фундаментальная полоса включает в себя \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}. Теперь мы можем задать линейный оператор \tilde{\mathcal{M}} как

\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx.

То есть

\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is).

Обычно этот оператор обозначается \mathcal{M} и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение \tilde{\mathcal{M}}.

теоремы обратного преобразования Меллина (англ.)русск. показывает, что

\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds.

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} для \forall f\in L^2(0,\infty).

Это объясняет коэффициент \frac {1} {\sqrt{2\pi}}

Связь с теорией вероятностей[править | править вики-текст]

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин.[2]

Если

  • D={s:a \leqslant \Re(s) \leqslant b},
  • a \leqslant 0 \leqslant b,
  • X — случайная величина,
  • X^{+}= max{X,0},
  • X^{-}=max{-X,0},,

то преобразование Меллина определяется как

\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + i \int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
где
i — мнимая единица.

Преобразование Меллина случайной величины \mathcal{M}_X(it) случайной величины X однозначно определяет её функцию распределения F_x.

Применение[править | править вики-текст]

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

Литература[править | править вики-текст]

  • Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. — Marcel Dekker, Inc., 2004. — ISBN 0-8247-5402-6
  • Paris R. B. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. — Cambridge University Press, 2001.
  • Polyanin A. D. Handbook of Integral Equations. — Boca Raton: CRC Press, 1998. — ISBN 0-8493-2876-4
  • Flajolet, P. (1995). «Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums». Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58.
  • Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Шаблон:Springer
  • Weisstein, Eric W. Mellin Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hardy, G. H. (1916). «Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes». Acta Mathematica 41 (1): 119–196. DOI:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)
  2. Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15