Дебаевская длина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в нейтральной среде, состоящей из положительно и отрицательно заряженных частиц (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление еще называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой (СГС):

d = \left\{ \sum_j {4\pi q^2_j n_j \over kT_j} \right\}^{-1/2}

(СИ) :

 d= \left\{ \sum_j {q^2_j n_j \over \varepsilon_0 kT_j} \right\}^{-1/2}

где: q_j, n_j, T_j — электрический заряд, концентрация частиц и температура частиц типа j; k,  \varepsilon_0  — постоянная Больцмана и диэлектрическая проницаемость вакуума. Суммирование идет по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности: \sum{q_j n_j}=0. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

n_D={4\pi\over 3}d^3\sum_j n_j

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

n_D\thicksim (E_{\rm kinetic}/E_{\rm coulomb})^{3/2}

Для электролитов это число мало: n_D\thicksim 10^{-4}; для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы кинетической теории для описания плазмы.

Также Дебаевский радиус можно определить по формуле:

 \lambda_D = 5 \sqrt{\frac{T_e}{n}},

где T_e - электронная температура, - число электронов в единице объема[1].

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл[править | править вики-текст]

В системе из N различных типов частиц, частицы j-й разновидности переносит заряд q_j и имеют концентрацию n_j(\mathbf{r}) в точке \mathbf{r}. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью \varepsilon_r. Распределение зарядов в такой среде создают электрическое поле с потенциалом \Phi(\mathbf{r}), удовлетворяющим уравнению Пуассона:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}),

где \varepsilon_0 это диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал \Phi(\mathbf{r}), но также движутся под действием кулоновской силы, - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}). В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой T, тогда концентрации зарядов, n_j(\mathbf{r}), могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал, как соответствующий самосопряженному полю. В этих допущениях, концентрация j-й разновидности частица описывается Больцмановским распределением,

 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right),

где k_B есть постоянная Больцмана, а n_j^0 средняя концентрация зарядов типа j. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения получаем уравнение Пуассона-Больцмана:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right).

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи, q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T, разложением экспоненты в ряд Тейлора:

 \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 
1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}.

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =
\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j

так же известное как уравнение Дебая-Хюккеля:[2][3][4][5][6] Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины:

 \lambda_D = 
\left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}

обычно называемой Дебаевским радиусом (или Дебаевской длиной). Стоит отметить, что все типы зарядов вносят вклад в Дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин[править | править вики-текст]

Плазма Плотность, ne−3) Температура электронов, T(K) Магнитное поле, B(T) Дебаевская длина, λD(м)
Газовый разряд (пинчи) 1016 104 -- 10−4
Токамак 1020 108 10 10−4
Ионосфера 1012 103 10−5 10−3
Магнитосфера 107 107 10−8 102
Солнечное ядро 1032 107 -- 10−11
Солнечный ветер 106 105 10−9 10
Межзвездное пространство 105 104 10−10 10
Межгалактическое пространство 1 106 -- 105
Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Элементарная физика плазмы, 1969, с. 13
  2. Kirby BJ. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices.
  3. Li D Electrokinetics in Microfluidics. — 2004.
  4. PC Clemmow & JP Dougherty Electrodynamics of particles and plasmas. — Redwood City CA: Addison-Wesley, 1969. — P. §7.6.7, p. 236 ff.. — ISBN 0201479869.
  5. RA Robinson &RH Stokes Electrolyte solutions. — Mineola NY: Dover Publications, 2002. — P. 76. — ISBN 0486422259.
  6. See DC Brydges & Ph A Martin Coulomb Systems at Low Density: A Review

Литература[править | править вики-текст]

  • Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.