Закон смещения Вина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кривые потока излучения абсолютно чёрных тел с разной температурой. Наглядно можно увидеть, что возрастании температуры максимум излучения сдвигается в ультрафиолетовую часть спектра (в область коротких длин волн). Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

Общий вид закона смещения Вина[править | править исходный текст]

λmax = b/T ≈ 0,002898 м·К × T −1 (K),

где T — температура, а λmax — длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b, называемый постоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света \nuгерцах) закон смещения Вина имеет вид:

\nu_\max = { \alpha \over h} kT  \approx  (5,879 \times 10^{10} \ \mathrm) \cdot T,

где

α ≈ 2,821439… Гц/К — постоянная величина,
k — постоянная Больцмана,
h — постоянная Планка,
T — температура (в кельвинах).

Вывод закона[править | править исходный текст]

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

B(\lambda,T) = {2 h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}.

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по \lambda и приравнять дифференциал к нулю:

{ \partial B \over \partial \lambda } =  \frac{2 h c}{\lambda^6} {1\over e^{h c/\lambda kT}-1} \left( {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} -  5 \right)=0

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда \lambda\rightarrow\infty или когда e^{h c/\lambda kT}\rightarrow\infty, что выполняется при \lambda\rightarrow0. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка B(\lambda), которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

 {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} -  5 =0

Используя замену переменных x={hc\over kT \lambda}, данное уравнение можно преобразовать к виду

{x e^x \over e^x - 1}-5=0.

Численное решение этого уравнения даёт:[1]

x = 4.965114231744276\ldots

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

\lambda_\max = {hc\over x }{1\over kT} = {2.89776829\ldots \times 10^{-3}\over T},

где температура дана в кельвинах, а \lambda_{\max} — в метрах.


Примеры[править | править исходный текст]

Согласно закону смещения Вина чёрное тело с температурой человеческого тела (310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 μм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, " Am. J. Phys. 67 (11), 946—953 1999.
  • M. A. Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322—1323 2003.

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Решение уравнения {x e^{x}\over e^{x} - 1} = n невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.