0 (число)

	0
	Нуль (ноль)
← -2 · -1 · 0 · 1 · 2 →
Факторизация	?
Римская запись	?
Двоичное	0
Восьмеричное	0
Шестнадцатеричное	0
	Натуральные числа

У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль.

0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, разделяющее на числовой прямой положительные целые и отрицательные целые числа.

Основные свойства нуля [править]

Нуль не имеет знака.^{[источник не указан 28 дней]}
Любое число при сложении с нулём не меняется.
При вычитании нуля от любого числа, получается то же число.
Умножение любого числа на нуль даёт нуль.
При делении нуля на любое число, кроме самого 0, получается нуль. Деление нуля на нуль приводит к неопределённости $(0/0)$ .
Нуль является чётным числом, поскольку при делении на 2 получается целое число.
Деление на ноль невозможно в пространстве комплексных чисел. В самом деле, если обозначить $\frac{a}{0} = b$ , то по определению деления формально должно быть $b \cdot 0 = a$ , в то время как выражение $b \cdot 0$ , при любом комплексном $b$ , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного числа в пространстве комплексных чисел. Но это возможно на расширенной комплексной плоскости.
При возведении любого числа, кроме нуля, в степень 0, получаем 1: $n^0 = 1$ , при $n \neq 0$ .

Обобщения [править]

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в высшей алгебре такой элемент называется нейтральным элементом или аддитивной единицей. Чаще всего используется вещественный нуль, то есть нуль в контексте множества вещественных чисел. Другие распространённые вариации:

Отношение к натуральным числам [править]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют нуль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять нуль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело).

Применение [править]

В математике [править]

Нулевое число Фибоначчи, нулевое число Мерсенна, нулевое треугольное число и т. д.
0! (ноль факториал) определяется как 1.
Расположения 0 и 360 градусов совпадают
Ноль функции

Неопределенности с участием нуля [править]

В математическом анализе возможно 7 неопределенных ситуаций, в 4 из которых присутствует ноль:

Неопределенности	Примеры раскрытия неопределенностей
$\left ( \frac{0}{0} \right )$	$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \left ( \frac{0}{0} \right ) = \frac{2}{3}$
$(0^0)$	$\lim_{x\to 0} x^x = (0^0) = 1$
$(\infty^0)$	$\lim_{x \to \tfrac{\pi}{2}} \left ( \operatorname{tg}x - 1 \right )^{\cos{x}} = (\infty^0) = 1$
$(0\cdot\infty)$	$\lim_{x \to 1} (1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2} = (0\cdot\infty) = \frac{2}{\pi}$

И вполне определенная ситуация, когда рассматривается предел бесконечно малой величины:
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=\infty$ _ или _ $\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0]{} \infty$

В физике [править]

Абсолютный нуль температуры.

В других областях [править]

ASCII-код управляющего символа NUL
Нулевого года в юлианском и григорианском календаре нет. Точно так же, как нет нулевого дня в году и нулевого дня в месяце. Однако, есть астрономическая шкала, на которой нулевой год есть.
Нулевой километр.

История [править]

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля примерно начиная с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ονδεν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна открытая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка.

В Европе долгое время нуль считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравнению его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.