Идентификация систем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Идентификация систем — совокупность методов для построения математических моделей динамической системы по данным наблюдений. Математическая модель в данном контексте означает математическое описание поведения какой-либо системы или процесса в частотной или временной области, к примеру, физических процессов (движение механической системы под действием силы тяжести), экономического процесса (реакция биржевых котировок на внешние возмущения) и т. п. В настоящее время эта область теории управления хорошо изучена и находит широкое применение на практике.

История[править | править вики-текст]

Начало идентификации систем, как предмета построения математических моделей на основе наблюдений, связывают с работой Карла Фридриха Гаусса «Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium», в которой он использовал разработанный им метод наименьших квадратов для предсказания траектории движения планет. Впоследствии этот метод нашел применение во множестве других приложений, в том числе и для построения математических моделей управляемых объектов, используемых в автоматизации (двигатели, печи, различные исполнительные механизмы). Большая часть ранних работ по идентификации систем была сделана специалистами в области статистики, эконометрики (особенно их интересовали приложения идентификации, связанные с временными рядами) и образовала область под названиваем статистическое оценивание. Статистическое оценивание основывалось также на работе Гаусса(1809) и Фишера(1912)[1].

Приблизительно до 50-х годов XX века, большая часть процедур идентификации в автоматике, основывалась на наблюдении реакций управляемых объектов при наличии некоторых управляющих воздействий(чаще всего воздействий вида: ступенчатое( H \cdot 1(t) ), гармоническое(\sin(\alpha),\exp(j\omega)), сгенерированный цветной либо белый шум) и в зависимости от того какой вид информации использовался об объекте, методы идентификации делились на частотные и временные. Проблема заключалась в том, что области приложений этих методов была ограничена чаще всего скалярными системами(SISO,Single-input,single-output). В 1960 году Рудольф Калман представил описание управляемой системы в виде пространства состояний, что позволяло работать и с многомерными (MIMO,Many-input,many-output) системами, и заложил основы для оптимальной фильтрации и оптимального управления, основывавшихся на данном типе описания.

Конкретно для задач управления, методы идентификации систем были разработаны в в 1965 году в работах Хо и Калмана[2], Острёма и Болина[3].Эти работы открыли путь разработке двух методов идентификации, популярных до сих пор: методу подпространства и методу ошибки предсказания. Первый основан на использовании проекций в евклидовом пространстве, а второй на минимизации критерия, зависящего от параметров модели.

Работа Хо и Калмана посвящена поиску модели изучаемого объекта в пространстве состояний, имеющей наименьший порядок вектора состояний, на основе информации об импульсной переходной характеристике. Данная задача, но уже при наличии реализаций случайного процесса, где формируется марковская модель, была решена в 70-х годах в работах Форре[4] и Акайка[5] .Эти работы заложили создание метода подпространства в начале 90-х.

Работа же Острёма и Болина представила для сообщества специалистов по идентификации метод максимального правдоподобия, который был разработан специалистами по временным рядам для оценивания параметров моделей в виде разностных уравнений[6],[7]. Эти модели, которые известны в статистической литературе как ARMA(авторегрессионное скользящее среднее) и ARMAX (авторегрессионное скользящее среднее с входом), позднее, образовали основу для создания метода ошибки предсказания. В 1970,Бокс и Дженкинс, опубликовали книгу [8],которая дала значительный импульс к применению методов идентификации во всех возможных для этого областях. Этот труд давал, проще говоря, полный рецепт для идентификации с момента начала сбора информации об объекте до получения и проверки модели. На протяжении 15 лет, эта книга оставалась главным источником по идентификации систем. Важной работой того времени также являлся обзор [9] , посвященный идентификации систем и анализу временных рядов, опубликованный в IEEE Transactions on Automatic Control в декабре 1974 года. Одним из открытых вопросов тогда был вопрос об идентификации замкнутых систем, для которых метод на основе взаимной корреляции приводит к неудовлетворительным результатам [10]. С середины 70-х годов, недавно изобретенный метод ошибки предсказания стал доминировать в теории и, что более важно, в приложениях идентификации. Большая часть исследовательской активности сфокусировалась на проблемах идентификации многомерных и замкнутых систем. Ключевой задачей для этих двух классов систем являлось найти условия для эксперимента и способы параметризации проблемы, при которых найденная модель приблизится к единственно точному описанию реальной системы. Обо всей активности того времени можно сказать, что это было время поиска "истинной модели", решения вопросов идентифицируемости, сходимости к точным параметрам, статистической эффективности оценок и асимптотической нормальности оцениваемых параметров. К 1976 году была сделана первая попытка рассмотреть идентификацию систем как теорию аппроксимации, в которой стоит задача наилучшей возможной аппроксимации реальной системы внутри данного класса моделей [11],[12],[13]. Преобладающая точка зрения среди специалистов по идентификации, таким образом, сменилась с поиска описания для истинной системы на поиск описания наилучшей возможной аппроксимации. Важный прорыв также случился когда Л. Льюнг ввел понятие смещения и ошибки дисперсии для оценивания передаточных функций объектов [14]. Работа со смещением и анализ дисперсии, полученных моделей, в течение 1980-х привело к перспективе рассмотрения идентификации как проблемы синтеза. На основе понимания влияния условий эксперимента, структуры модели и критерия идентификации, основанном на смещении и дисперсии ошибки, возможно так подобрать эти переменные синтеза к объекту, чтобы получить наилучшую модель в данном классе моделей [15],[16]. Данной идеологией пропитана книга Леннарта Льюнга [17] ,имеющая большое влияние на сообщество специалистов по идентификации.

Идея, что качество модели может быть изменено с помощью выбора переменных синтеза, привела к всплеску активности в 90-х годах XX века, который продолжается до сих пор. Главное применение новой парадигмы это идентификация для MBC(управление на основе модели). Соответственно, идентификация для задач управления расцвела с небывалой силой со времени своего появления и применение к управлению методов идентификации вдохнуло вторую жизнь в такие уже известные области исследования как планирование эксперимента, идентификация в замкнутом контуре, частотная идентификация, робастное управление при наличии неопределенности.

Идентификация систем в СССР и России[править | править вики-текст]

Главным событием в развитии идентификации систем в СССР являлось открытие в 1968 году Лаборатории №41 («Идентификации систем управления») в Институте автоматики и телемеханики (ныне Институт проблем управления РАН) при содействии Н.С.Райбмана. Наум Семенович Райбман одним из первых в стране осознал практическую пользу и теоретический интерес идентификации систем. Им была разработана теория дисперсионной идентификации для идентификации нелинейных систем [18],а также написана книга под названием "Что такое идентификация?" [19] для объяснения основных принципов нового предмета и для описания круга решаемых идентификацией систем задач. Также впоследстии теорией идентификации интересовался Яков Залманович Цыпкин, разработавший теорию информационной идентификации [20]

Общий подход[править | править вики-текст]

Построение математической модели требует 3 базовые вещи:

  • Набор данных,полученных в результате нормальной работы изучаемого объекта либо при целенаправленном эксперименте Z^N.
Вход-выходная информация обычно записывается в течение заранее спланированного идентификационного эксперимента, во время которого исследователь может выбрать какие сигналы измерять,когда их измерять и какие входные сигналы использовать. Дисциплина "Планирование экспериментов" может подсказать как сделать экспериментальную информацию наиболее информативной с учетом тех ограничений,которые могут быть наложены на эксперимент. Но,к сожалению, не редка ситуация когда исследователь не имеет возможности проводить эксперимент,а работает с той информацией,которая ему предоставлена.
  • Множество моделей-кандидатов для использования.
Множество моделей-кандидатов получается на основании решения о том классе моделей,в котором будет проводиться поиск. Без сомнения, этот выбор является самым важным и самым сложным в процедуре идентификации. Именно на этом этапе вся априорная информация,инженерная интуиция должны объединиться вместе с формальными свойствами вероятных моделей для принятия решения. Также множество предполагаемых моделей может быть построено на основе известных физических законов либо существует возможность использовать стандартные линейные модели без какой-либо опоры на физику. Такие модели, построенные не на основе известных физических законов и имеющие параметры, изменяя которые можно добиться приближения к изучаемому объекту, называются моделями черного ящика. Модели же имеющие натраиваемые параметры и опирающиеся на известные физические законы называются серыми ящиками. Вообще говоря, модельная структура это параметризованное отображение из множество входов и выходов до момента времени t-1 включительно на множество выходов текущего момента времени t:
\hat{y}(t|\theta)=g(\theta,Z^{t-1})
  • Правило по которому каждая модель-кандидат может быть принята или отброшена.
Критерием для выбора модели является её способность повторять данные, полученные из эксперимента, т.е. соответствовать поведению изучаемого объекта.Но необходимо помнить,что модель никогда не сможет быть принята как "настоящее" или "истинное" описание объекта из-за своей врожденной приблизительности.

Процедура идентификации как замкнутая система[править | править вики-текст]

Процедура идентификации имеет естественный логический порядок:сначала собираем данные,потом формируем множество моделей и затем выбираем наилучшую модель.Обычным явлением бывает,что первая выбранная модель не проходит тест на соответствие экспериментальным данным. Тогда следует вернуться назад и выбрать другую модель или изменить критерии поиска. Модель может быть неудовлетворительной по следующим причинам:

  • Численный метод не может найти, подходящую к выбранному критерию, модель.
  • Неправильно выбранный критерий.
  • Неправильно сформированное множество моделей,в нем вообще может не быть качественной модели.
  • Собранные данные не информативны.


Литература[править | править вики-текст]

  • C. F. Gauss Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. — 1809.
  • Lennart Ljung System Identification - Theory For the User. — 2-е изд. — N.J.: PTR Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-656695-2.
  • Н.С.Райбман Что такое идентификация?. — Москва: Наука, 1970.
  • Н.С.Райбман Дисперсионная идентификация. — Москва: Наука, 1981.
  • Я.З.Цыпкин Информационная теория идентификации. — Москва: Наука, 1995.
  • Н.Н. Оленев, Г.К. Каменев, В.Л. Гусман Исследование устойчивости прогнозирования на модели российской экономики методом множеств идентификации. М.: ВЦ РАН. 2012. 50 с Web: http://www.ccas.ru/kamenev/IUM-all.pdf
  • Д. Химмельблау Анализ процессов статистическими методами. — Москва: Мир, 1973.

Примечание[править | править вики-текст]

  1. R. A. Fisher.  On an Absolute Criterion for Fitting Frequency Curves. — Statistical Science, vol.12,No. 1 (Feb., 1997). — pp. 39-41. 
  2. B.L. Ho and R.E. Kalman.  Effective construction of linear state-variable models from input-output functions. — Regelungstechnik, vol.12, 1965. — pp. 545—548. 
  3. K.J. Astrom and T. Bohlin.  Numerical identification of linear dynamic systems from normal operating records. — Proc. IFAC Symp. Self-Adaptive System, 1965. — pp. 96—111. 
  4. P. Faurre,  Realisations markoviennes de processus stationnaires. — Rapport La-boria No.13, IRIA, Rocquencourt, France, Tech. Rep. 1973. 
  5. H. Akaike,   Stochastic theory of minimal realization. — IEEE Trans. Automat. Control, vol. 26, pp.667-673, Dec. 1974. 
  6. T.C. Koopmans, H. Rubin, and R.B. Leipnik,   Measuring the Equation Systems of Dynamic Economics. — (Cowles Commission Monograph, vol. 10, T.C.Koopmans, Ed.). New York: Wiley, 1950. 
  7. E.J. Hannan,   Time Series Analysis.— New York :Methuen, 1960  
  8. G.E.P. Box and G.M. Jenkins  Time Series Analysis, Forecasting and Control. — Oakland, CA:Holden-Day, 1970. 
  9. K.J. Astrom and P. Eykhoff  System identification — A survey. Automatica, vol. 7, pp. 123—162, 1971. 
  10. H. Akaike  Some problems in the application of the cross-spectral method, — in Spectral Analysis of Time Series, B. Harris, Ed. New York: Wiley, 1967, pp. 81-107.  
  11. L. Ljung   On consistency and identifiability, — Math. Program. Study, vol. 5, pp. 169—190, 1976.  
  12. B.D.O. Anderson, J.B. Moore, and R.M.Hawkes,  Model approximation via prediction error identification,, — Automatica, vol. 14, pp.615-622, 1978. 
  13. L. Ljung and P.E. Caines,   Asymptotic normality of prediction error estimators for approximative system models, — Stochastics, vol. 3, pp.29-46, 1979. 
  14. L. Ljung,   Asymptotic variance expressions for identified black-box transfer function models, " IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, pp.834-844, 1985.  
  15. B. Wahlberg and L. Ljung   Design variables for bias distribution in transfer function estimation, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-31, pp.134-144, 1986. 
  16. M. Gevers and L. Ljung,   Optimal experiment designs with respect to the intended model application, Automatica, vol. 22, pp. 543—554, 1986. 
  17. L. Ljung,   System identification.Theory for the User, — 2-е изд. — N.J.: PTR Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-656695-2  
  18. Н.С. Райбман,   Дисперсионная идентификация, — Москва: Наука, 1981.  
  19. Н.С. Райбман,   Что такое идентификация?. — Москва: Наука, 1970. 
  20. Я.З. Цыпкин,   Информационная теория идентификации, М., Наука, 1995, 336 с.