Интегралы Френеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать \pi t^2/2 вместо t^2, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt.

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд[править | править исходный текст]

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен \pi t^2 /2, а не t^2, как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

S(x)=\int\limits_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)=\int\limits_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

Некоторые авторы[1] используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций \frac{\pi}{2}t^2. Полученные функции получаются из определённых выше сжатием графика по оси Y в \sqrt{\frac{2}{\pi}} раз и растяжением вдоль оси X во столько же раз.

Спираль Корню[править | править исходный текст]

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при t \rightarrow +\infty.

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

C\,'(t)^2 + S\,'(t)^2 = \sin^2(t^2) + \cos^2(t^2) = 1,

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет нулевым.

Свойства[править | править исходный текст]

  • C(x) и S(x) — нечётные функции x.
S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\mathrm{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
\int\limits_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Вычисление[править | править исходный текст]

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при x \rightarrow \infty могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

e^{-\frac{1}{2}t^2}

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом y=x, x \geqslant 0 и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При R \rightarrow \infty интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

 \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 
\sqrt{\frac {\pi}{2}},

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)
  1. Уравнения 7.3.1 — 7.3.2

Внешние ссылки[править | править исходный текст]