Функция Доусона

Функция Доусона $F(x) = D_+(x)$, вблизи начала координат

Функция Доусона $D_-(x)$, вблизи начала координат

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Джон М. Доусона (англ.)) — неэлементарная функция действительного переменного:

$F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt.\,\!$

Свойства

Общие свойства

• Нечётная функция: $F(-x)=-F(x)$.
• Производная: $\frac{d}{dx}F(x)=1-2xF(x)$.
• Неопределённый интеграл: $\int F(x)\,dx= \frac{1}{2} x^2 {}_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-x^2\right)$, где ${}_2F_2\left(a,b;c,d;z\right)$ - обобщённая гипергеометрическая функция.
• Является дробной производной обратной экспоненты: $D^{-1/2}e^{-x}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} F(\sqrt{x})$.
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения $1-\sqrt{\pi}e^{-x^2}x erfi(x)=0$: $F(0,9241388730)=0,541044246$. Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS.
• Имеет точку перегиба: $F(1,5019752683)=0,4276866160$ (последовательность 133843 в OEIS).
• Раскладывается в цепные дроби:

$F(z)=\frac{1}{1+}\frac{2z^2}{3-}\frac{4z^2}{5+}\frac{6z^2}{7-}\frac{8z^2}{9+}\cdots$

$F(z)=\frac{z}{1+2z^2-}\frac{4z^2}{3+2z^2-}\frac{8z^2}{5+2z^2-}\frac{12z^2}{7+2z^2-}\cdots$

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

$F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x) = - {i \sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erf} (ix)$

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

$F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \, 2^k}{(2k+1)!!} \, x^{2k+1} = x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^5 - \cdots$

$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}\, x^{2n+1}=x-\frac23x^3+\frac4{15}x^5-\dots$

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около $+\infty$, имеется асимптотическое разложение:

$F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{8x^5}+\dots+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}}+o(x^{-2n-2} )$

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

$\frac{dF}{dx} + 2xF=1\,\!$

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: $D_+(x)=e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt\,\!$, тогда вводят "симметричную" её в нотации: $D_-(x)=e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2}\,dt\,\!$ ; в таких обозначениях:

$D_+(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x)$ и

$D_-(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{x^2} \mathrm{erf} (x)$.

См. также

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

Литература

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

Ссылки

• Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
• Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Функция ошибок
• Реализации функции Доусона