Функция Доусона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Доусона F(x) = D_+(x), вблизи начала координат
Функция Доусона D_-(x), вблизи начала координат

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Джон М. Доусона (англ.)) — неэлементарная функция действительного переменного:

F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt.\,\!

Свойства[править | править вики-текст]

Общие свойства
F(z)=\frac{1}{1+}\frac{2z^2}{3-}\frac{4z^2}{5+}\frac{6z^2}{7-}\frac{8z^2}{9+}\cdots
F(z)=\frac{z}{1+2z^2-}\frac{4z^2}{3+2z^2-}\frac{8z^2}{5+2z^2-}\frac{12z^2}{7+2z^2-}\cdots
Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

 F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x)
= - {i \sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erf} (ix)

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

 F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \, 2^k}{(2k+1)!!} \, x^{2k+1}
= x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^5 - \cdots
F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}\, x^{2n+1}=x-\frac23x^3+\frac4{15}x^5-\dots

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около +\infty, имеется асимптотическое разложение:

F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{8x^5}+\dots+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}}+o(x^{-2n-2} )

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

 \frac{dF}{dx} + 2xF=1\,\!

с начальным условием F (0) = 0.

Обобщения[править | править вики-текст]

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: D_+(x)=e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt\,\!, тогда вводят "симметричную" её в нотации: D_-(x)=e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2}\,dt\,\! ; в таких обозначениях:

 D_+(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}  e^{-x^2}  \mathrm{erfi} (x) и
 D_-(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}  e^{x^2}  \mathrm{erf} (x).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

Ссылки[править | править вики-текст]