Функция ошибок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

График функции ошибок

В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

$\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt$ .

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая $\operatorname{erfc}\,x$ (иногда применяется обозначение $\operatorname{Erf}\,x$ , определяется через функцию ошибок:

$\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt$ .

Комплексная функция ошибок, обозначаемая $w (x)$ , также определяется через функцию ошибок:

$w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)$ .

Содержание

1 Свойства
2 Применение
3 Асимптотическое разложение
4 Родственные функции
- 4.1 Обобщённые функции ошибок
- 4.2 Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
5 Реализация
6 См. также
7 Литература
8 Внешние ссылки

[править] Свойства

Функция ошибок нечётна:

$\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.$

Для любого комплексного $x$ выполняется

$\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}$

где черта обозначает комплексное сопряжение числа $x$ .

Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного $x$ , так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}$

поскольку $\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}$ — сомножитель, превращающий $i$ -й член ряда в $(i + 1)$ -й, считая первым членом $x$ .

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка $z=\infty$ будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

$\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.$

Обратная функция ошибок представляет собой ряд

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!$

где c₀ = 1 и

$c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.$

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). \,\!$ [1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

[править] Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением $σ$ , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на $a$ , равна $\operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}$ .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

[править] Асимптотическое разложение

При больших $x$ полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

$\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,$

Хотя для любого конечного $x$ этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления $\operatorname{erfc}\,x$ с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

$(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)$

где

$a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.$

[править] Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым $Φ(x)$

$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,.$

Обратная функция к $Φ$ , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается $\operatorname{probit}$ и выражается через нормальную функцию ошибок как

$\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).$

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).$

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

$\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).$

[править] Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок

E n (x)

:
серая линия: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}$
красная линия: $E_2(x)=\operatorname{erf}\,x$
зелёная линия:

E 3 (x)

синяя линия:

E 4 (x)

жёлтая линия:

E 5 (x)

.

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.$

Примечательными частными случаями являются:

$E 0 (x)$ — прямая линия, проходящая через начало координат: $E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}$
$E 2 (x)$ — функция ошибок $\operatorname{erf}\,x$ .

После деления на $n!$ все $E n$ с нечётными $n$ выглядят похоже (но не идентично). Все $E n$ с чётными $n$ тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на $n!$ . Все обощённые функции ошибок с $n > 0$ выглядят похоже на полуоси $x > 0$ .

На полуоси $x > 0$ все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

$E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0$

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

$\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}$

[править] Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,$

Их можно разложить в ряд:

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,$

откуда следуют свойства симметрии

$i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

и

$i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.$

[править] Реализация

В стандартах языков Си и C++ функция ошибок $\operatorname{erf}$ и дополнительная функция ошибок $\operatorname{erfc}$ отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке Java функции ошибок нет в стандартной библиотеке математических функций java.lang.Math [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от Apache [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab [4] и Mathematica содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функции ошибок нет. Фунция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy [5].

[править] См. также

Функция Гаусса

[править] Литература

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

[править] Внешние ссылки

Функция ошибок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства

[править] Применение

[править] Асимптотическое разложение

[править] Родственные функции

[править] Обобщённые функции ошибок

[править] Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

[править] Реализация

[править] См. также

[править] Литература

[править] Внешние ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках