Функция ошибок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции ошибок

В математике функция ошибок (функция Лапласа или интеграл вероятности) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая \operatorname{erfc}\,x (иногда применяется обозначение \operatorname{Erf}\,x) определяется через функцию ошибок:

\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix).

Свойства[править | править вики-текст]

\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.
  • Для любого комплексного x выполняется
\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x[источник не указан 866 дней], так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

поскольку \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i+1)-й, считая первым членом x.

  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка z=\infty будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.
  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд
\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!

где c0 = 1 и

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). \,\![1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение[править | править вики-текст]

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением \sigma, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна  \operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}.

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение[править | править вики-текст]

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления \operatorname{erfc}\,x с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)

где

 a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.

Родственные функции[править | править вики-текст]

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым \Phi(x)

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,.

Обратная функция к \Phi, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается \operatorname{probit} и выражается через нормальную функцию ошибок как


\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

\operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).

Обобщённые функции ошибок[править | править вики-текст]

График обобщённых функций ошибок E_n(x):
серая линия: E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}
красная линия: E_2(x)=\operatorname{erf}\,x
зелёная линия: E_3(x)
синяя линия: E_4(x)
жёлтая линия: E_5(x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

Примечательными частными случаями являются:

  • E_0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}
  • E_2(x) — функция ошибок \operatorname{erf}\,x.

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обобщённые функции ошибок с n>0 выглядят похоже на полуоси x>0.

На полуоси x>0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

E_n(x) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок[править | править вики-текст]

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как


i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,

Их можно разложить в ряд:


i^n\,\operatorname{erfc}\,z 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,

откуда следуют свойства симметрии


i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}

и


i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Реализация[править | править вики-текст]

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, 7.12.8) предусмотрены функция ошибок \operatorname{erf} и дополнительная функция ошибок \operatorname{erfc}. Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке Java функции ошибок нет в стандартной библиотеке математических функций java.lang.Math [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от Apache [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Maple[4], Matlab[5], Mathematica и Maxima[6] содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. [7] Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy [8].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math, [9].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)
  • Nikolai G. Lehtinen «Error functions», April 2010 [10]

Ссылки[править | править вики-текст]