Интеграл Меллина — Барнса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл Меллина—Барнса (Mellin—Barnes integral) или интеграл Барнса (Barnes integral) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина[3].

Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от -i\infty до +i\infty), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа \Gamma(a_i+s) (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа \Gamma(b_i-s) (которые должны оставаться справа)[4].

Гипергеометрические функции[править | править исходный текст]

Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:

{}_2F_1(a, b; c | z) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^s\,{\rm d}s.

Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции \Gamma(-s) в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.

Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие обобщённой гипергеометрической функции[en] pFq[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой G-функции Мейера[en], представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким[6].

Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как функции Аппеля[en][7], функции Кампе-де-Ферье[en][8], функции Лауричеллы[en][9] и другие.

Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для базисных гипергеометрических рядов[en], и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты[10].

Леммы Барнса[править | править исходный текст]

Первая лемма Барнса гласит[1]

\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\; {\rm d}s
=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}.

Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции {}_2F_1(a, b; c | z) при z=1. Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.

Вторая лемма Барнса гласит[2]

\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(1-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(e+s)}\; {\rm d}s
=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1-d+a)\Gamma(1-d+b)\Gamma(1-d+c)}{\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)}

где e=a+b+c+d+1. Эта формула является аналогом формулы суммирования Заальшютца[en].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 E.W. Barnes (1908), "«A new development of the theory of the hypergeometric functions»", Proc. London Math. Soc. Т. s2-6: 141–177, DOI 10.1112/plms/s2-6.1.141 
  2. 1 2 E.W. Barnes (1910), "«A transformation of generalised hypergeometric series»", Quarterly Journal of Mathematics Т. 41: 136–140 
  3. Eric W. Weisstein. Mellin Transform (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 12 сентября 2012.
  4. Eric W. Weisstein. Mellin-Barnes Integral (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 12 сентября 2012.
  5. Eric W. Weisstein. Generalized Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
  6. Eric W. Weisstein. Meijer G-Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
  7. Eric W. Weisstein. Appell Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
  8. Eric W. Weisstein. Kampé de Fériet Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
  9. Eric W. Weisstein. Lauricella Functions (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
  10. George Gasper and Mizan Rahman "Basic hypergeometric series". — 2nd. — Cambridge University Press, 2004. — Vol. 96. — ISBN 978-0-521-83357-8

Литература[править | править исходный текст]

  • R.B. Paris and D. Kaminski "Asymptotics and Mellin—Barnes integrals". — Cambridge University Press, 2001. — 422 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Appications, v.85). — ISBN 0-521-79001-8