Инъекция (математика)

Инъективная функция.

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение $f$ множества $X$ во множество $Y$ ($f\colon X\to Y$), при котором разные элементы множества $X$ переводятся в разные элементы множества $Y$, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f\colon X\to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$ в $Y$.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $f\colon X\to Y$ инъективно, если существует $g\colon Y\to X$, при котором композиция $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

• $f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь $\mathbb {R} _{>0}$ — множество положительных чисел).
• $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ — инъективно (здесь $\mathbb {R} _{+}$ — множество неотрицательных чисел).
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$ — не является инъективным, так как $f(-2)=f(2)=4$.

Применение

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.