Квантовая вероятность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квантовая вероятность (некоммутативная вероятность) — некоммутативный аналог классической (колмогоровской) теории вероятности и теории стохастических процессов.

Некоммутативным случайным процессом называется случайный процесс над C*-алгеброй B с множеством значений параметра T как совокупность из C*-алгебра A, семейства {J(t): t \in T} гомоморфизмов алгебры B в A и состояния \omega на A.

Приведенное определение некоммутативного случайного процесса таково, что может использоваться в квантовой теории открытых систем. Оно может рассматриваться как некоммутативный аналог классического случайного процесса в смысле Дуба[1] и Мейера[2].

Исследования моделей открытых квантовых систем восходят к пионерской работе[3]Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова 1939 года. Лежащие в основе стохастические структуры были открыты и изучены значительно позже. Главной трудностью оказался вопрос о правильном определении понятия квантового случайного процесса. Значительный прогресс в этом вопросе был связан с введением понятия квантовой динамической полугруппы, предложенного А. Коссаковским[4][5][6], а затем развитого Г. Линдбладом[7] (см. Уравнение Линдблада).

Квантовые динамические полугруппы являются некоммутативным обобщением полугруппы отображений операторов в теории марковских случайных процессов. Эта полугруппа описывает эволюцию квантовой системы, определяемую только настоящим состоянием системы, то есть эволюцию без памяти о прошлых состояниях. Такие полугруппы удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являются некоммутативными обобщениями уравнений Фоккера — Планка или Колмогорова-Чепмена.

Квантовым (некоммутативным) вероятностным пространством называется пара (A,\omega), где A является *-алгеброй и \omega является состоянием.

Это определение является обобщением вероятностного пространства в классической (колмогоровской) теории вероятностей[8], в том смысле, что каждое классическое вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если в качестве A выбрана *-алгеброй ограниченных комплексно-значных измеримых функций.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.
  2. Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.
  3. Боголюбов Н. Н. Избранные труды в трех томах. Т. 2. — К.: «Наукова думка», 1970. — С. 5—76.
  4. Kossakowski A. «On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems» Rep. Math. Phys. Vol.3. (1972) pp.247-274.
  5. V. Gorini, A. Kossakowski, E.C.G. Sudarshan, «Completely positive dynamical semi-groups of N-level systems», J. Math. Phys. Vol.17. (1976) pp.821-825.
  6. Gorini V., Frigerio A., Verri M., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G., «Properties of quantum markovian master equations», Rep. Math. Phys. Vol.13. (1978) pp.149-173.
  7. G. Lindblad, «On the generators of quantum dynamical semi-groups», Commum. Math. Phys. Vol.48. (1976) pp.119-130.
  8. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: «Наука», 1974.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]