Кристаллическая решётка

Кристалли́ческая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. Решёткой является совокупность точек, которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с элементами симметрии.

Общая характеристика

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем. По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний. Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии, а с учётом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп.

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве. В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная (F), объёмноцентрированная (I), базоцентрированная (A, B или C), примитивная (P) и ромбоэдрическая (R) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора (a, b, c, ½(a+b+c)), в гранецентрированную — шесть (a, b, c, ½(a+b), ½(b+c), ½(a+c)). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора (a, b, c, ½(b+c)), B — вектора (a, b, c, ½(a+c)), а C — (a, b, c, ½(a+b)), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора (a, b, c, ¹/₃(a+b+c), —¹/₃(a+b+c)).

• Решётки Браве
• 

  Гранецентрированная

• 

  Объёмно-центрированная

• 

  Базо-центрированная

• 

  Примитивная

Классификация решёток по симметрии

Сингонии:

• триклинная сингония — наименьшая симметрия, нет одинаковых углов, нет осей одинаковой длины;
• моноклинная сингония — два прямых угла, нет осей одинаковой длины;
• ромбическая сингония — три прямых угла (поэтому ортогонально), нет осей одинаковой длины;
• гексагональная сингония — две оси одинаковой длины в одной плоскости под углом 120°, третья ось под прямым углом;
• тетрагональная сингония — две оси одинаковой длины, три прямых угла;
• тригональная сингония — три оси одинаковой длины и три равных угла, не равных 90°;
• кубическая сингония — высшая степень симметрии, три оси одинаковой длины под прямым углом.

Классификация по симметрии	Классификация по Браве
триклинная сингония (none)	примитивная
моноклинная сингония (1 diad)	примитивная	базоцентрированная
ромбическая сингония (3 perpendicular diads)	примитивная	базоцентрированная	объёмноцентрированная	гранецентрированная
гексагональная сингония (1 hexad)		базоцентрированная
тригональная сингония (1 triad)	примитивная
тетрагональная сингония (1 tetrad)	примитивная		объёмноцентрированная
кубическая сингония (4 triads)	примитивная		объёмноцентрированная	гранецентрированная

Объём ячейки

Объём элементарной ячейки в общем случае вычисляется по формуле:

$\mathsf{V = a b c \sqrt{1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta - \cos^2\gamma - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma} }$

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 3-е, дополненное. — М.: Наука, 1976. — 584 с. — («Теоретическая физика», том V). — Глава XIII
• Н. Ашкрофт, Н. Мермин Физика твёрдого тела. Том I.
• Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов Структурная кристаллография — Л.:издательство ЛГПИ, 1988.

Ссылки

• Геометрия как искусство.

См. также

• Список структурных типов
• Вакансия (дефект кристаллической решётки)