Параллелограмм
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Содержание |
Свойства [править]
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Сумма всех углов равна 360°.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,
и
— длины диагоналей; тогда
Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых
,
, где BD - секущая. Из равенства треугольников следует:
и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.
Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.
По теореме косинусов:
Поскольку
, то
Складывая полученные равенства: 
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в прямоугольник. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма [править]
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник - параллелограмм
2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм
3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм
Площадь параллелограмма [править]
, где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.
, где a и b — стороны, а
— угол между сторонами a и b.
, где
и
— диагонали, а
— угол между диагоналями
и
.
См. также [править]
| Многоугольники | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| По числу вершин |
|
||||
| Правильные |
|
||||
| Выпуклые |
Четырёхугольники: Параллелограмм • Прямоугольник • Ромб • Трапеция |
||||
| См. также | Теория и практика: Принадлежность точки многоугольнику • Теорема Бойяи — Гервина • Теорема Брахмагупты • Теорема Гаусса — Ванцеля • Формула Пика • Теорема о сумме углов многоугольника | ||||



.
.
, где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.
, где a и b — стороны, а
— угол между сторонами a и b.
, где