Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

  $\left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|$.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

  $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D.$

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

  $\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Любая диагональ делит параллелограмм на 2 равных треугольника.
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
• Сумма всех углов равна 360°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей; тогда

$d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Доказательство  

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB||CD$, $BC||AD$, где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: $|AB| = |CD|, |AD| = |BC|$ и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle A.$ Поскольку $\cos\angle D = -\cos\angle A$, то $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle A.$ Складывая полученные равенства: $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: $~AB = CD, AD = BC$.
2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$.
3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $~AO = OC, BO = OD$.
4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ$.
5. Противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD, AB \parallel CD$.
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: $~AC^2+BD^2 = 2AB^2+2BC^2$

Площадь параллелограмма

$S = a \times h$ , где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.

$S = a \times b \times \sin \alpha$, где a и b — стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами a и b.

$S = \frac{1}{2} AC \times BD \times \sin \angle AOB$.

См. также

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона