Параллелограмм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
    \left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
    \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точка пересечения делит их пополам.
    \left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по признаку параллельных прямых).
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,  d_1 и d_2  — длины диагоналей; тогда

d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма[править | править исходный текст]

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

  1. Противоположные стороны попарно равны и параллельны: AB = CD, AB \parallel CD.
  2. Противоположные углы попарно равны: \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ~AO = OC, BO = OD.
  4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: \angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ.
  5. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: ~AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2

Площадь параллелограмма[править | править исходный текст]

S = a \times h , где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.
S = a \times b \times \sin \alpha, где a и b — стороны, а \alpha — угол между сторонами a и b.

См. также[править | править исходный текст]