Интеграл Римана

Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена вещественнозначная функция $f$.

Рассмотрим разбиение отрезка $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$ — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок $[a,b]$ на n отрезков $[x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n$. Длина наибольшего из отрезков $\delta R = \max (\Delta x_i )$ называется шагом разбиения, где $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$-длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке $\xi _i \in [x_{i-1}, x_i]$. Интегральной суммой называется выражение $\sigma _x = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }$.

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора $\xi _i \in [x_{i-1}, x_i]$, то это число называется интегралом функции $f$ на отрезке $[a,b]$, т.е. $\int\limits_a^b f(x)\,dx = \lim \limits_{d \to 0} \sigma _x$.

В этом случае, сама функция $f$ называется интегрируемой (по Риману) на $[a,b]$; в противном случае $f$ является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке $[a,b]$.

Свойства

1. Невырожденность: $\int\limits_{a}^{b} 1\,dx = b-a$
2. Положительность: Если интегрируемая функция $f$ неотрицательна, то её интеграл по отрезку $[a,b]$ также неотрицателен.
3. Линейность: Если функции $f$ и $g$ интегрируемы, и $\alpha, \beta \in\R$, то функция $\alpha f + \beta g$ тоже интегрируема, и $\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx$.
4. Непрерывность: Если интегрируемые функции $f_i$ равномерно сходятся на отрезке $[a,b]$ к функции $f$, то $f$ интегрируема, и $\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx$. (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.)
5. Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть $a<b<c$. Функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,c]$, тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков $[a,b]$ и $[b,c]$, при этом $\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx$.
6. Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$, если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
7. Если функция $F$ является первообразной непрерывной функции $f$, то интеграл функции $f$ на отрезке $[a,b]$ может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен $F(b)-F(a)$. (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция $f$ всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: $F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt + C$, где $C$ - произвольная константа.

История

Такое определение интеграла дано Коши, но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Даниэля
• Кратный интеграл Римана
• Интеграл Стилтьеса
• Несобственный интеграл

Литература

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.

Ссылки

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана