Интеграл Римана
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Содержание |
[править] Неформальное геометрическое описание
Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.
[править] Определения
[править] Через интегральные суммы
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка
— конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков
. Длина наибольшего из отрезков d = max(Δxi), где Δxi = xi − xi − 1, называется диаметром разбиения.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке
. Интегральной суммой называется выражение
.
Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора
, то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. 
В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
[править] Через суммы Дарбу
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка
.
Верхней суммой Дарбу Δ называется число
Соответственно, нижней суммой Дарбу для Δ называется
Функция называется интегрируемой по Риману, если существует вещественное число
В этом случае, по определению
[править] Свойства
- Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a).
- Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману. Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.
- Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где
. - Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c], и
. - Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и
, то функция αf + βg тоже интегрируема, и
- Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
[править] История
Такое определение интеграла дано Коши[1], но применялось только для непрерывных функций.
Риман в 1854 году[2], дал это же определение без предположения непрерывности.
[править] См. также
[править] Ссылки
- Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
![\overline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)\Delta x_{i}}](http://upload.wikimedia.org/math/2/1/b/21b8c6025cc349530d6455ab0723d608.png)
![\underline{S}_{\Delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\inf _{[x_{i-1},x_{i}]} f(x)\Delta x_{i}}](http://upload.wikimedia.org/math/c/d/d/cdd4b80fbbec830e4ae7521744f46a6e.png)





