Интеграл Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание[править | править вики-текст]

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения[править | править вики-текст]

Через интегральные суммы[править | править вики-текст]

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n. Длина наибольшего из отрезков \delta R = \max (\Delta x_i ) называется шагом разбиения, где \Delta x_i  = x_i  - x_{i - 1} — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]. Интегральной суммой называется выражение \sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }.

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора \xi _i \in [x_{i-1}, x_i], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], то есть \int\limits_a^b f(x)\,dx  = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x .

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].

Через суммы Дарбу[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Невырожденность: \int\limits_{a}^{b} 1\,dx = b-a.
  2. Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл на отрезке [a,b] также неотрицателен.
  3. Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и \alpha, \beta \in\R, то функция \alpha f + \beta g тоже интегрируема, и \int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx.
  4. Непрерывность: Если интегрируемые функции f_i равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и \lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx. (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
  5. Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть a<b<c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом \int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx.
  6. Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
  7. Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a). (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt + C, где C — произвольная константа.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана[править | править вики-текст]

Для того, чтобы функция f(x) была интегрируемой в сегменте [a, b], необходимо и достаточно, чтобы сумма \sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta_{i} стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения d.

Здесь \omega_{i}колебание функции f(x) в сегменте \Delta_{i}=[x_{i-1}, x_{i}],

колебание \omega функции f на множестве E — разность \sup_{E} f(x) - \inf_{E} f(x),
диаметр разбиения d = \sup_{i}(x_{i} - x_{i-1})[1].

История[править | править вики-текст]

Такое определение интеграла дано Коши[2], но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году[3] дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  3. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13