Конечнопорождённый модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конечнопорождённым модулем M над ассоциативным кольцом A называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов m_1, m_2, \ldots, m_n\in M таких, что любой элемент из M представим в виде суммы m_1a_1+m_2a_2+\ldots+m_na_n, где a_1, a_2, \ldots, a_n\in A — какие-то элементы кольца A.

В числе свойств, тесно связанных с конечнопорожденностью — конечнопредставленность, конечносвязанность и когерентность модуля. Над нётеровым кольцом все четыре свойства эквивалентны.

Конечнопорожденные модули над полем — это в точности конечномерные векторные пространства.

Свойства[править | править вики-текст]

Образ конечнопорожденного модуля при гомоморфизме также конечнопорожден. В общем случае, подмодули конечнопорожденного модуля не обязательно являются конечнопорожденными. Например, рассмотрим кольцо R = Z[x1, x2…] многочленов от бесконечного числа переменных. R конечно порождено как R-модуль. Рассмотрим его подмодуль (то есть идеал), состоящий из всех многочленов с нулевым коэффициентом при константе. Если бы у этого модуля было конечное порождающее множество, то каждый одночлен xi должен бы был содержаться в одном из многочленов этого множества, что невозможно.

Модуль называется нётеровым, если любой его подмодуль конечно порожден. Более того, модуль над нётеровым кольцом является конечнопорожденным тогда и только тогда, когда он является нётеровым.

Пусть 0 → M′MM′′ → 0 — точная последовательность модулей. Если M′ и M′′ здесь конечно порождены, то и M конечно порожден. Верны и некоторые утверждения, частично обратные к данному. Если M конечно порожден и M'' конечно представлен (это более сильное условие, чем конечнопорожденность, см. ниже), то M′ конечно порожден.

В коммутативной алгебре существует определенная связь между конечнопорожденностью и целыми элементами. Коммутативная алгебра A над R называется конечнопорожденной над R, если существует конечное множество её элементов, такое что A — наименьшее подкольцо A, содержащее R и эти элементы. Это более слабое условие, чем конечнопорожденность: например, алгебра многочленов R[x] — конечнопорожденная алгебра, но не конечнопорожденный модуль. Следующие утверждения эквивалентны:[1]

  • A — конечнопорожденный модуль;
  • A — конечнопорожденная алгебра, являющаяся целым расширением R.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули[править | править вики-текст]

Свойство конечнопорожденности можно сформулировать так: конечнопорожденный модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизм

f : RkM.

Рассмотрим теперь эпиморфизм

φ : FM.

из свободного модуля F в M.

  • Если ядро φ конечно порождено, M называется конечно связанным модулем. Поскольку M изоморфно F/ker(φ), это свойство можно выразить следующими словами: M получается из свободного модуля добавлением конечного числа соотношений.
  • Если ядро φ конечно порождено и ранг F конечен, M называется конечно представленным модулем. Здесь у M имеется конечное число генераторов (образы генераторов F) и конечное число соотношений (генераторов ker(φ)).
  • Когерентный модуль — это конечнопорожденный модуль, все конечнопорожденные подмодули которого конечно представлены.

Если основное кольцо R нётерово, все четыре условия эквивалентны.

Хотя условие когерентности кажется более «громоздким», чем условия конечной свзяанности и представленности, оно также интересно, потому что категория когерентных модулей является абелевой, в отличие от категории конечнопорожденных или конечно представленных модулей.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Kaplansky, 1970, Theorem 17, p. 11
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1—7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. — ISBN 3-540-64239-0
  • Kaplansky, Irving (1970), «Commutative rings», Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., сс. x+180 
  • Lam, T. Y. (1999), «Lectures on modules and rings», Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5 
  • Lang, Serge (1997), «Algebra» (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0