Абелева категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, абелева категория — это категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают желаемыми свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий возникла в попытке объединить несколько теорий когомологий, созданных Александром Гротендиком. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций, например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение[править | править вики-текст]

Категория является абелевой, если

Это определение эквивалентно[1] следующему определению «по частям»: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что структура абелевой группы на множествах морфизмов является следствием трех свойств из первого определения. Это подчеруивает фундаментальную роль категории абелевых групп в этой теории.

Примеры[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Понятие абелевой категории было предложено Бухсбаумом в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году, чтобы объединить несколько теорий когомологии. В то время существовала теория когомологий пучков и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они являются производными функторами на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Peter Freyd, Abelian Categories