Кососимметричная матрица

Кососимметричная (кососимметрическая) матрица — квадратная матрица А над полем k характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

$A^T = -A,$

где $A^T$ — транспонированная матрица.

Для n×n матрицы A это соотношение эквивалентно:

$a_{i,j}=-a_{j,i}$ для всех $i,j=1,2,\dots,n$,

где $a_{i,j}$ — элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы A.

Свойства

• Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
• Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
• Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
• Вещественная кососимметрическая матрица подобна блок-диагональной матрице с нулевыми диагональными блоками и диагональными блоками $2 \times 2$ вида

$\begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$.

• Множество всех кососимметрических матриц порядка $n$ над полем $k$ образует алгебру Ли над $k$ относительно сложения матриц и коммутирования:

$[A,B] = A B - B A$.

См. также

• Пфаффиан