Характеристический многочлен матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Определение[править | править вики-текст]

Для данной матрицы A, \chi(\lambda)=\det(A-\lambda E), где E — единичная матрица, является многочленом от \lambda, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av=\lambda v имеет ненулевое решение, то (A-\lambda E)v=0, значит матрица A-\lambda E вырождена и её определитель \det(A-\lambda E)=\chi(\lambda) равен нулю.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Матрицу A-\lambda E называют характеристической матрицей матрицы A.
  • Уравнение \chi(\lambda)=0 называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для матрицы n\times n, характеристический многочлен имеет степень n.
  • Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
  • Теорема Гамильтона — Кэли: если \chi(\lambda) — характеристический многочлен матрицы A, то \chi(A)=0.
  • Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: \chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}.
  • Если A и B — две n\times n-матрицы, то \chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения \mathrm{tr}\,(AB) = \mathrm{tr}\,(BA) и \det (AB) = \det (BA).
  • В более общем виде, если A — m\times n-матрица, а B — n\times m-матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то
\chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda).

Ссылки[править | править вики-текст]