Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы $A$, $\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)$, где Е — единичная матрица, является многочленом от $\lambda$, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также «вековым уравнением» (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение $Av=\lambda v$ имеет ненулевое решение, то $(A-\lambda E)v=0$, значит матрица $A-\lambda E$ вырождена и ее определитель $\det(A-\lambda E)=\chi(\lambda)$ равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу $A-\lambda E$ называют характеристической матрицей матрицы А.
• Уравнение $\chi(\lambda)=0$ называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

• Для матрицы $n\times n$, характеристический многочлен имеет степень $n$.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если $\chi(\lambda)$ — характеристический многочлен матрицы $A$, то $\chi(A)=0$.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: $\chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}$.
• Если A и B — две $n\times n$-матрицы, то $\chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}$. В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).
• В более общем виде, если A — $m\times n$-матрица, а B — $n\times m$-матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

$\chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda)$.

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет.