ЛАФЧХ

ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом.

Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: $~ \lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b)$.

ФЧХ

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем

Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза, и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта — Уорренгтона.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

$f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n}$,

то:

$\log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n log(x + c_n)$

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб $~20 \cdot \operatorname{lg}(X)$, то есть значение АЧХ, равное 100, превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

$H(s) = A \cdot \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}$

где $\ s$ — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: $~ s = j \omega\$, $\ x_n$ и $\ y_n$ — константы, а $\ H$ — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно, используя следующие правила:

• в каждом $\ s$, где $\omega\ = x_n$ (нуль), наклон линии увеличивается на $(20 \cdot a_n)$ дБ на декаду.

• в каждом $\ s$, где $\omega\ = y_n$ (полюс), наклон линии уменьшается на $(20 \cdot b_n)$ дБ на декаду.

• Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты $\omega\$ в передаточную функцию.

• Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.

• В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, $~x^2+ax+b$, наклон меняется в точке $\sqrt{b}$ сразу на $(40 \cdot a_n)$ дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями, надо:

• в каждом нуле поставить точку на $3 \cdot a_n\$ дБ выше линии ($6 \cdot a_n\$ дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)

• в каждом полюсе поставить точку на $3 \cdot a_n\$ дБ ниже линии ($6 \cdot a_n\$ дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)

• плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Аппроксимация ФЧХ

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

$H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}$

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

$\varphi = \operatorname{arctg} (\frac{\Im(H(j \omega))}{\Re(H(j \omega))})$

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

• если $\ A$ положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
• если $\ A$ отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
• для нуля сделать наклон линии вверх на $45 \cdot a_n$ ($90 \cdot a_n$ для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с $\omega = \frac{x_n}{10}$,
• для полюса наклонить линию вниз на $45 \cdot b_n$ ($90 \cdot b_n$ для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с $\omega = \frac{y_n}{10}$,
• обнулить наклон снова когда фаза изменится на $90 \cdot a_n$ градусов для простого нуля или полюса и на $180 \cdot a_n$ градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
• сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице $\ s$ — комплексная переменная.

№	Звено	Передаточная функция	ЛАФЧХ	Примечания
1	пропорциональное	$\ K$		$\ K = 100$
2	идеальное интегрирующее	$\ 1/s$
3	идеальное дифференцирующее	$\ s$
4	апериодическое (реальное интегрирующее)	$\frac{1}{Ts+1}$		$\ T = 0,01$
5	колебательное	$\frac{1}{T^2s^2 + 2\;\xi\ T s + 1}$		$\ T = 0,01$ $\xi\ = 0.1$
6	неустойчивое апериодическое	$\frac{1}{Ts - 1}$		$\ T = 0,01$ неминимально-фазовое
7	дифференцирующее звено первого порядка	$\ Ts + 1$		$\ T = 0,01$
8	форсирующее второго порядка	$\ T^2s^2 + 2\;\xi\ T s+ 1$		$\ T = 0,01$ $\xi\ = 0.1$
9	чистого запаздывания	$\ e^{-sT}$		$\ T = 0.0001$

Замкнутая система; передаточная функция разомкнутой системы — W(s).

Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ω_ср, решив уравнение $A(\omega_{cp})=0$ (здесь и далее $A(\omega)=20\lg|W(j\omega)|$; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень), и частоту ω_в — максимальную из частот, для которых $\varphi(\omega)=-180^\circ$. Тогда $\Delta A=A(\omega_B)$ — запас устойчивости по амплитуде (обычно требуется не ниже 12 дБ), $\Delta\varphi=\varphi(\omega_{cp})+180^\circ$ — запас устойчивости по фазе (обычно требуется не ниже 30°). Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

См. также

• АФЧХ
• Диаграмма Вольперта — Смита