ЛАФЧХ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Боде) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

Введение[править | править вики-текст]

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ[править | править вики-текст]

ЛАЧХ - это зависимость модуля выходной комплексной амплитуды в логарифмическом масштабе.

Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ[править | править вики-текст]

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения - безразмерная величина:

1 декада равна изменению частоты в 10 раз.

1 октава равна изменению частоты в 2 раза.

Масштаб по оси ординат ЛАЧХ[править | править вики-текст]

По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:

  • децибел (дБ) (десятая часть бела)- это отношение мощностей (10 децибел равно изменению мощности в 10 раз).

1 децибел равен (для амплитуд размерности напряжения) одной двадцатой изменению амплитуды сигналов в 10 раз.

1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз

ЛФЧX[править | править вики-текст]

ЛФЧХ - это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе

  • по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
  • по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются. Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе - возможность исследования характеристик в большом диапазоне.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФХЧ[править | править вики-текст]

Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике. Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты - асимптотическая логарифмическая аплитудо-частотная характеристика (АЛАЧХ) и асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФХЧ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово "асимптотическая" опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФХЧ) и ЛАЧХ (ЛФХЧ) - это разные характеристики. Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Названия[править | править вики-текст]

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование[править | править вики-текст]

Свойства и особенности[править | править вики-текст]

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ[править | править вики-текст]

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: ~ \lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b) .

ФЧХ[править | править вики-текст]

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем[править | править вики-текст]

Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза, и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта — Уорренгтона.

Построение ЛАФЧХ[править | править вики-текст]

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

 f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n} ,

то:

 \log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n log(x + c_n)

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Построение асимптотической ЛАЧХ (аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями)[править | править вики-текст]

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб ~20 \cdot \operatorname{lg}(X), то есть значение АЧХ, равное 100, превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

 H(s) = A \cdot \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}
где \ s  — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: ~ s = j \omega\ , \ x_n и \ y_n — константы, а \ H  — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно, используя следующие правила:
  • в каждом \ s , где \omega\ = x_n (ноль), наклон линии увеличивается на (20 \cdot a_n) дБ на декаду.
  • в каждом \ s , где \omega\ = y_n (полюс), наклон линии уменьшается на (20 \cdot b_n) дБ на декаду.
  • Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты  \omega\ в передаточную функцию.
  • Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.
  • В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, ~x^2+ax+b, наклон меняется в точке  \sqrt{b} сразу на (40 \cdot a_n) дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ[править | править вики-текст]

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями, надо:

  • в каждом нуле поставить точку на 3 \cdot a_n\ дБ выше линии (6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)
  • в каждом полюсе поставить точку на 3 \cdot a_n\ дБ ниже линии (6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)
  • плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Построение асимптотической ЛФЧХ (аппроксимация)[править | править вики-текст]

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

 H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

 \varphi = \operatorname{arctg} (\frac{\Im(H(j \omega))}{\Re(H(j \omega))})

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

  • если \ A положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
  • если \ A отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
  • для нуля сделать наклон линии вверх на 45 \cdot a_n (90 \cdot a_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с  \omega = \frac{x_n}{10} ,
  • для полюса наклонить линию вниз на 45 \cdot b_n (90 \cdot b_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с  \omega = \frac{y_n}{10} ,
  • обнулить наклон снова когда фаза изменится на  90 \cdot a_n градусов для простого нуля или полюса и на  180 \cdot a_n градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
  • сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ[править | править вики-текст]

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице  \ s  — комплексная переменная.

Звено Передаточная функция ЛАФЧХ Примечания
1 пропорциональное  \ K Gain bode.png  \ K = 100
2 идеальное интегрирующее \ 1/s Integ bode.png
3 идеальное дифференцирующее  \ s Diff bode.png
4 апериодическое
(реальное интегрирующее)
\frac{1}{Ts+1} Aper bode.png \ T = 0,01
5 колебательное \frac{1}{T^2s^2 + 2\;\xi\ T s + 1} Aper 2.png \ T = 0,01
\xi\ = 0.1
6 неустойчивое
апериодическое
\frac{1}{Ts - 1} Unstaper bode.png \ T = 0,01

неминимально-фазовое
7 дифференцирующее звено первого порядка  \ Ts + 1 For bode.png \ T = 0,01
8 форсирующее
второго
порядка
\ T^2s^2 + 2\;\xi\ T s+ 1 For2 bode.png \ T = 0,01
\xi\ = 0.1
9 чистого
запаздывания
 \ e^{-sT} Delay bode.png \ T = 0.0001
Замкнутая система; передаточная функция разомкнутой системы — W(s).

Обоснование[править | править вики-текст]

В основе определения устойчивости системы рассматривается модель в виде звена, охваченного отрицательной обратной связью и возможность её вхождения в автоколебания (колебательная граница устойчивости). Условием автоколебаний является наличие положительной обратной связи при этом коэффициент усиления в прямой цепи должен быть не ниже единицы. Фаза выходного сигнала (описываемая фазо-частотной характеристикой) через цепь отрицательной обратной связи подаётся обратно на вход, при этом "запасом по фазе" называется дополнительный сдвиг по фазе, который должен быть на выходе, чтобы получилась положительная обратная связь. Коэффициент передачи в прямой ветви описывается амплитудно-частотной характеристикой, при этом частота, которой соответствует единичное усиление называется "частотой среза", на ЛАЧХ частота среза-это точка пересечения характеристики с осью абсцисс. Графически запас по фазе определяется как разность между фазой равной π радиан (180°) и фазой на частоте среза (условие образования положительной обратной связи); "запас по амплитуде" - расстояние по оси амплитуд от точки частоты среза до амплитуды при угле π радиан (условие единичного коэффициента в прямой ветви).

Алгоритм вычисления[править | править вики-текст]

Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ωср, решив уравнение A(\omega_{cp})=0 (здесь и далее A(\omega)=20\lg|W(j\omega)|; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень), и частоту ωв — максимальную из частот, для которых \varphi(\omega)=-180^\circ. Тогда \Delta A=A(\omega_B) — запас устойчивости по амплитуде, \Delta\varphi=\varphi(\omega_{cp})+180^\circ — запас устойчивости по фазе. Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

Ссылки[править | править вики-текст]

[1]

См. также[править | править вики-текст]