Передаточная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Линейные стационарные системы[править | править вики-текст]

Пусть  u(t) \! — входной сигнал линейной стационарной системы, а  y(t) \! — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция  W(s) \! такой системы записывается в виде:

 W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} ,

где  U(s) \! и  Y(s) \! — преобразования Лапласа для сигналов  u(t) \! и  y(t) \! соответственно:

 U(s)  =  \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} u(t) e^{-st}\, dt  ,
 Y(s)  =   \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} y(t) e^{-st}\, dt .

Дискретная передаточная функция[править | править вики-текст]

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть u(k) \! — входной дискретный сигнал такой системы, а y(k) \! — её дискретный выходной сигнал, k = 0, 1, 2, \dots \!. Тогда передаточная функция  W(z) \! такой системы записывается в виде:

 W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)} ,

где  U(z) \! и  Y(z) \! — z-преобразования для сигналов  u(k) \! и  y(k) \! соответственно:

 U(z)  =  \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}  ,
 Y(z)  =   \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k} .

Связь с другими динамическими характеристиками[править | править вики-текст]

  • АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной  s \! на  j \omega \! :
W(j \omega) \equiv W(s), s = j \omega \!.

Свойства передаточной функции[править | править вики-текст]

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной (s \!):

W(s) = \frac{R(s)}{Q(s)} = \frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m}{a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы системы. Полюсы передаточной функции — это корни характеристического полинома в знаменателе, нули — корни характеристического полинома в числителе.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции m \! не может превышать порядка её знаменателя n \!.

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция[править | править вики-текст]

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы  U(t) \! до вектора выхода  Y(t) \! — это матрица  W = \{w_{i, j}\} \! , элемент i \!-й строки j \!-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от i \!-й координаты вектора входа системы до j \!-й координаты вектора выхода.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]