Рациональная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}

где  P_n(x_1,\dots,x_n),  Q_m(x_1,\dots,x_m) — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, где P(x) и Q(x) — многочлены.


Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства[править | править вики-текст]

Правильные дроби[править | править вики-текст]

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P'_{n-m}(x) + \frac{P^{''}_{m-1}(x)}{Q_m(x)}

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x-a)^k (a — вещественный корень Q(x)) либо (x^2+px+q)^k (где x^2+px+q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также[править | править вики-текст]