Многозначная аналитическая функция

Многозначная аналитическая функция — многозначная комплексная функция, получаемая при помощи аналитического продолжения по всем путям.

Определение

Пусть $D$ есть ${\widehat {\mathbb {C} }}$ или $\mathbb {C} ^{n}$ (также в качестве $D$ допускается произвольная область в ${\widehat {\mathbb {C} }}$, $\mathbb {C} ^{n}$, ${\widehat {\mathbb {C} ^{n}}}$ или ${\widehat {\mathbb {C} }}^{n}$, или даже вообще $D$ может быть произвольным комплексным многообразием).

Через произвольные аналитические элементы

Аналитическим элементом в $D$ (иногда просто элементом) называется пара $(F,f)$, где $F\subset D$ — область в $D$, а $f$ — голоморфная в этой области функция.

Два аналитических элемента $(F,f)$ и $(G,g)$ называются непосредственным аналитическим продолжением друг друга через область $\Delta$, если пересечение $F\cap G$ непусто и на одной из компонент связности пересечения $\Delta \subset F\cap G$ функции $f$ и $g$ равны.

Аналитический элемент $(F_{n},f_{n})$ называется аналитическим продолжением элемента $(F_{0},f_{0})$ через цепочку областей $\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}$, если существует такая цепочка элементов $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n},f_{n})$, что каждый элемент $(F_{i},f_{i})$ является непосредственным аналитическим продолжением элемента $(F_{i-1},f_{i-1})$ через область $\Delta _{i}$.

Отношение «является аналитическим продолжением через цепочку областей, лежащих в $D$» между аналитическими элементами в $D$ является отношением эквивалентности. По этому отношению эквивалентности все элементы можно разбить на классы эквивалентности. Эти самые классы эквивалентности называются полными в $D$ аналитическими функциями. Такие классы эквивалентности отождествляются с многозначными функциями следующим образом: значениями многозначной функции на аргументе $x$ считаются значения функций всех элементов на этой точке, для которых функция в ней определена.

Через ростки

Два аналитических элемента $(F,f)$ и $(G,g)$, имеющие общую точку $a$, называются эквивалентными в точке $a$, если функции $f$ и $g$ равны на пересечении $F\cap G$. Класс эквивалентности аналитических элементов над $D$, определённых в точке $a$, по этому отношению эквивалентности называется ростком аналитической функции над $D$ в точке $a$.

Пусть $\varphi \colon [0;1]\to D$ — путь. Говорят что росток $p$ в точке $\varphi (0)$ продолжаем вдоль пути $\varphi$, если существует семейство ростков $p_{i},\ i\in [0;1]$ в точках $\varphi (i)$, удовлетворяющее следующему условию. Для каждого ростка $p_{i}$, каждого его элемента $(F,f)$, каждой связной окрестности $U\in [0;1]$ точки $i$ такой, что $\varphi (U)$ целиком лежит в $F$ и каждого $j\in U$ элемент $(F,f)$ также является элементом для $p_{j}$. Такое семейство однозначно задаётся путём $\varphi$ и ростком $\varphi (0)$, а росток $\varphi (1)$ называется аналитическим продолжением ростка $p$ вдоль пути $\varphi$. Иногда также определяется понятие аналитического продолжения элемента вдоль пути. Его результатом также является росток и определяется оно просто как аналитическое продолжение вдоль пути ростка, определяемого этим элементом в начальной точке пути.

Полной в $D$ аналитической функцией называется множество всех ростков, полученных продолжением некоторого ростка $p$ вдоль всех путей в $D$, вдоль которых он продолжаем. Полная в $D$ аналитическая функция называется аналитической в $D$, если этот росток продолжаем вдоль любых путей в $D$. С многозначной функцией такое множество ростков отождествляется следующим образом: значениями многозначной функции на аргументе $x$ считаются значения функций всех ростков с центром в $x$ на этой самой точке $x$.

Без уточнения области аналитичности под полной аналитической функцией обычно имеют в виду полную аналитическую функцию в ${\widehat {\mathbb {C} }}$ или $\mathbb {C} ^{n}$. Под термином же многозначная аналитическая функция или просто аналитическая функция могут иметь в виду что угодно из вышеперечисленного в зависимости от контекста.

Через канонические элементы

Пусть далее $D$ есть ${\widehat {\mathbb {C} }}$ или ${\widehat {\mathbb {C} }}^{n}$. Тогда для каждого ростка существует элемент, канонически представляющий его. Функция такого элемента представляет собой сумму ряда Тейлора функций ростка в его центре, а область — его область сходимости. Элемент, в котором функция есть сумма степенного ряда, а множество — его область сходимости, называется каноническим (или вейерштрасовым). Такие элементы взаимо однозначно задают ростки, а значит, могут быть использованы вместо них для упрощения предыдущего определения.

Говорят что канонический элемент $(F,f)$ с центром в точке $\varphi (0)$ продолжаем вдоль пути $\varphi$, если существует семейство канонических элементов $(F_{i},f_{i}),\ i\in [0;1]$ в точках $\varphi (i)$, удовлетворяющее следующему условию. Для каждого канонического элемента $(F_{i},f_{i})$, каждой связной окрестности $U\in [0;1]$ точки $i$ такой, что $\varphi (U)$ целиком лежит в $F_{i}$ и каждого $j\in U$ элемент $(F_{i},f_{i})$ является непосредственным аналитическим продолжением элемента $(F_{j},f_{j})$. Такое семейство однозначно задаётся путём $\varphi$ и элементом $\varphi (0)$, а элемент $\varphi (1)$ называется аналитическим продолжением канонического элемента $(F,f)$ вдоль пути $\varphi$.

Полной в $D$ аналитической функцией называется множество всех канонических элементов, полученных продолжением некоторого канонического элемента $(F,f)$ вдоль всех путей в $D$, вдоль которых он продолжаем. Можно также через канонические элементы определить понятие аналитичности в области. Пусть $D'$ — подобласть в $D'$. Аналитической в $D'$ функцией называется множество всех канонических элементов, полученных продолжением некоторого канонического элемента $(F,f)$, такого что $F\in D'$ и элемент продолжаем вдоль всех путей в $D'$, продолжением вдоль всех путей в $D'$. С многозначной функцией такое множество канонических элементов отождествляется следующим образом: значениями многозначной функции на аргументе $x$ считаются значения функций всех канонических элементов с центром в $x$ на этой самой точке $x$.

Риманова поверхность

Основная статья: Риманова поверхность

Иным подходом к определению многозначных аналитических функций является рассмотрение их как однозначных, но на более сложной области определения.

Пусть $f$ — некоторая полная аналитическая функция, $M$ — множество её ростков. Зададим функцию $\pi \colon M\to D$, которая каждый росток отправляет в его центр. Такая функция порождает на $M$ топологию, если за базу топологии взять прообразы всех открытых множеств. Более того, такая функция — локальный гомеоморфизм, и нетрудно показать, что она также задаёт на $M$ структуру комплексного многообразия. Такое многообразие вместе с функцией проекции называется римановой поверхностью $f$.

Суть этой конструкции в следующем. Если рассмотреть функцию $g\colon M\to D$, которая каждому ростку сопоставляет значение его функций в центре, то такая функция будет голоморфна в $M$ и более того, задавать многозначную функцию $f$ следующим образом:

$f(z)=g(\pi ^{-1}(z))$.

Таким образом, многозначная функция может быть рассмотрена как однозначная, а условие аналитичности сведено к голоморфности.

Особые точки

У многозначных аналитических функций появляются новые виды изолированных особых точек. Однако дать определение изолированной особой точке в многозначном случае не так просто, как в однозначном. В отличие от однозначного случая такая точка может иметь разный характер для разных ветвей, поэтому необходимы дополнительные условия на вид функции, чтобы понятие определялось корректно.

Пусть $D'\in D$ — проколотая окрестность точки $a\in D$, причём любая её подобласть, не являющаяся проколотой окрестностью $a$, односвязна. Тогда для любой аналитической в $D'$ функции точка $a$ называется изолированной особой точкой. Особенность таких функций в том, что единственный способ перейти к другому ростку в той же самой точке, это обойти вокруг изолированную точку. В комплексном анализе доказывается, что количество обходов, которое необходимо совершить для возвращения в тот же самый росток, либо одинаково для каждого ростка, либо вернуться в тот же росток вообще невозможно. Это количество называется порядком изолированно особой точки (в случае невозможности возвращения порядок считается равным $\infty$). Если порядок равен $1$, то функция является однозначной и классификация особых точек для неё такая же, как для одозначных аналитических функций. Если же порядок особой точки больше $1$, то такая точка называется точкой ветвления.

Точки ветвления конечного порядка

В окрестности точки ветвления конечного порядка функция $f$ может быть представлена при помощи особого обобщения ряда Лорана: рядом Пюизё. Для точки ветвления порядка $m$ он имеет вид:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}z^{\frac {n}{m}}$

В каждой точке круга сходимости такой ряд имеет $m$ значений (при вычислении его значения в точке $z$ сначала считаются $m$ значений $z^{\frac {1}{m}}$, а затем каждое из них подставляется в степенной ряд). Такой ряд задаёт все значения многозначной функции $f$ в окрестности особой точки.

По количеству членов ряда с отрицательными степенями можно дать классификацию аналогичную классификации однозначных изолированных особых точек. Также, часто изолированные особые точки делят на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими особыми точками, называют точки конечного порядка, в которых количество отрицательных членов ряда Пюизё конечно. Если же оно бесконечно или точка имеет бесконечный порядок, то она называется трансцендентной.

Логарифмические точки ветвления

Точки ветвления бесконечного порядка называют логарифмическими точками ветвления. Аналога ряда Лорана как в случае точек конечного порядка для них нет, однако сопоставить им некоторый ряд всё же можно. Один из таких рядов имеет следующий вид:

$\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\left({\frac {\operatorname {Ln} {(z)}-\alpha }{\operatorname {Ln} {(z)}+\alpha }}\right)^{n}$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Белошапка В. К. Аналитическое продолжение, алгебраические функции, функции нескольких комплексных переменных  (рус.) (pdf) (7 июля 2015). Дата обращения: 28 ноября 2022.
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том 1. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — Т. 1. — 364 с.