Ряд Лорана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Лорана — двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням (z-a) над полем комплексных чисел:

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n, где  z,a_n,a\in\mathbb C

Этот ряд является суммой двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n — неотрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется правильной и
  2. \sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n} — отрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется главной.

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}
  • Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном подмножестве K\subset D ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
  • Коэффициенты a_n ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}
где \gamma(t)=a+\rho e^{it}, t\in [0,2\pi], r<\rho<R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана[править | править вики-текст]

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\} представима в D сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C\mid 0<|z-a|<R<\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности этой точки:

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.