Неравенство Карлемана

Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях.

Формулировка

Пусть $\{a_{1},a_{2},a_{3}\dots \}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство: $\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно $a_{n}$ не равно нулю.

Интегральная версия

У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции $f(x)$:

$\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t)dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx$

Неравенство Карлесона

В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана:

Пусть $g(x)$ — выпуклая функция, причём $g(0)=0.$ Тогда для любого числа $p>-1$ имеет место неравенство: $\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.$

Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при $p=0.$

Доказательство

Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots$:

$M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leqslant M_{arithm}(1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}$

где $M_{geom}$ означает среднее геометрическое, а $M_{arithm}$ — среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:

$n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}$

или, заменив $n$ на $n+1$:

$(n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1}}$ для любого $n\geqslant 1.$

Отсюда:

$M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,$

или:

$\sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\dots ,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg (}\sum _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\sum _{k\geqslant 1}\,a_{k}\,,$

что завершает доказательство.

Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}$

для неотрицательных чисел $a_{n}$ и $p>1$; для этого надо заменить $a_{n}$ на $a_{n}^{1/p}$ и устремить $p$ к бесконечности.

Литература

• Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Д. Неравенства = Inequalities. — М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
• Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.). — Kluwer Academic, 2000. — ISBN 0-7923-6483-X.CS1 maint: Extra text: authors list (link) Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.). — Kluwer Academic, 2000. — ISBN 0-7923-6483-X.
• Hörmander, Lars. The analysis of linear partial differential operators I: distribution theory and Fourier analysis, 2nd ed (англ.). — Springer, 1990. — ISBN 3-540-52343-X.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Carleman inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4