Оператор Гильберта — Шмидта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор A на гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис \{e_i\colon i \in I\} в H, что

\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта[править | править исходный текст]

Пусть A и B — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr}\,A^T\!B
= \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.

где \operatorname{tr} обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = 
\sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Свойства[править | править исходный текст]

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на H. Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на H, множество тогда и только тогда, когда H конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

H^* \otimes H,

где H^* — пространство, сопряжённое к H.