Компактный оператор

В функциональном анализе компа́ктным (или вполне непрерывным) опера́тором называется линейный оператор $A: X\to Y$ из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$ такой, что всякое ограниченное подмножество в $X$ отображается в предкомпактное множество пространства $Y$. Компактный оператор непременно ограничен, а значит, и непрерывен (этим оправдывается его второе название).

Свойства

• Любой конечномерный оператор компактен. Вообще, класс компактных операторов является обобщением класса конечномерных операторов на бесконечномерные пространства.
• Множество $\mathcal{K}(X,Y)$ компактных операторов с естественными операциями является замкнутым подпространством в пространстве ограниченных операторов.
• Композиция двух компактных операторов — компактный оператор.
• Оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество.
• Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен. (Это следует из теоремы Рисса о единичных шарах).
• Если T — компактный оператор, действующий из X в X, то оператор id − T (компактное возмущение тождественного оператора) — фредгольмов оператор индекса 0.
• Если T — компактный оператор, действующий из X в X, где X — гильбертово пространство, то он является пределом последовательности из конечномерных операторов (по операторной норме), то есть гильбертовы пространства обладают свойством аппроксимации. Произвольные банаховы пространства таким свойством могут и не обладать, см. пример Энфло.
• Если T — компактный оператор между гильбертовыми пространствами, то имеет место теорема Шмидта.
• Все интегральные операторы, действующие в пространстве $L_2$ на отрезке, компактны.
• Оператор, сопряжённый к компактному, компактен.

Примеры

Возьмём произвольную функцию $g \in C[0,1]$. Тогда определённый следующим образом оператор $T$ будет компактным:

$(Tf)(x) = \int\limits_0^x f(t)g(t)\,dt$

См. также

• Ядерный оператор
• Оператор Шмидта
• Фредгольмов оператор
• Непрерывный оператор