Раскрытие неопределённостей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(\infty-\infty)   \left (\frac{\infty}{\infty} \right )     \left (\frac{0}{0} \right )     \left (~0^0 \right )     \left (1^\infty \right )     \left (\infty^0 \right )   (0\cdot\infty)

(Здесь  ~0 — бесконечно малая величина, а \infty — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.


Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов \left ( ~0^0\right ), \left (1^\infty \right ), \left (\infty^0 \right ) пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

\left (~0^0 \right ) = \left (e^{0\cdot ln{0}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty} \right )
\left (~1^\infty \right ) = \left (e^{\infty\cdot ln{1}} \right ) = \left (e^{\infty\cdot 0} \right )
\left (~\infty^0 \right ) = \left (e^{0\cdot ln{\infty}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty} \right )

Для раскрытия неопределённостей типа \frac{\infty}{\infty} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа \left (\frac{0}{0}\right ) существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа (\infty-\infty) иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty и g(x)  \xrightarrow{x\to a} \infty
 \lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=(\infty-\infty) = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )=
\lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left ( \frac{0}{0} \right )

Пример[править | править вики-текст]

  • «Замечательный предел» \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} — пример неопределённости вида \left (\frac{0}{0}\right ). По правилу Лопиталя
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
    Однако стоит отметить, что приведенное равенство нельзя рассматривать в качестве доказательства первого замечательного предела. Поскольку данный предел используется в доказательстве формулы производной функции \sin x.