Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Определение

Функция $~f(x)$ имеет предел $~A$ в точке $~x_0$, предельной для области определения функции $~f(x)$, если для каждой окрестности предела $~A$ существует проколотая окрестность точки $~x_0$, образ которой при отображении $~f(x)$ является подмножеством заданной окрестности точки $~A$.

Определения

Рассмотрим функцию $f \left( x \right)$, определённую на некотором множестве $~X$, которое имеет предельную точку $~x_0$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$, если для любой последовательности точек $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$, сходящейся к $~x_0$, но не содержащей $~x_0$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $~x_0$ ), последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к $~A$.

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

Предел функции по Коши

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$, если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов $~x$, удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$, выполняется неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

Окрестностное определение по Коши

Значение $~A$ называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке $~x_0$, если для любой окрестности $O \left( A \right)$ точки $~A$ существует выколотая окрестность $\overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right)$ точки $~x_0$ такая, что образ этой окрестности $f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right)$ лежит в $O \left( A \right)$. Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \colon f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right) \subset O \left( A \right)$

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть $\mathcal{B}$ — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

• число A называется пределом функции по (при) базе $\mathcal{B}$, если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент B базы, что для любого $x\in B$ выполнено | f(x) − A | < ε.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «$x\to a, x\in E$» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с $\mathbb{R}$, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «$x\to a$» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

• $E_{a}^{-}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{-}$, где $\mathbb{R}_{a}^{-}=\{x\in\mathbb{R}\colon x<a\}$;
• $E_{a}^{+}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{+}$, где $\mathbb{R}_{a}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\colon x>a\}$.

Соответственно этому вводятся две базы:

• «$x\to a, x\in E_{a}^{-}$», которая коротко обозначается в виде «$x\to a-, x\in E$» или ещё проще «$x\to a-$»;
• «$x\to a, x\in E_{a}^{+}$», которая коротко обозначается в виде «$x\to a+, x\in E$» или ещё проще «$x\to a+$».

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны. Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $~\delta$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка $\left[ -\delta, +\delta \right]$. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу $~A$.

  $\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором для любого числа $~\delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу $~A$.

  $\lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором для любого числа $~\delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу $~A$.

  $\lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

Предел на бесконечности по Коши

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $~\delta$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка $\left[ -\delta, +\delta \right]$. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек, превышающих $~\delta$ по абсолютному значению, справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.

  $\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon \left| x \right| > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором для любого числа $~\delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек, лежащих правее $~\delta$, справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.

  $\lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

• Пусть числовая функция $~f \left( x \right)$ задана на множестве $~X$, в котором для любого числа $~\delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек, лежащих левее $~\left( -\delta \right)$, справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.

  $\lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x < -\delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция $~f \left( x \right)$ определена на множестве $~X$, имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка $~A$ называется пределом функции $~f \left( x \right)$ на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки $~A$.

$\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists O \left( 0 \right) \colon f \left( X \setminus O \left( 0 \right) \right) \subset O \left( A \right)$

Обозначения

Если в точке $~x_0$ у функции $~f \left( x \right)$ существует предел, равный $~A$, то говорят, что функция $~f \left( x \right)$ стремится к $~A$ при стремлении $~x$ к $~x_0$, и пишут одним из следующих способов:

• $\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A$, или
• $f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A$.

Если у функции $~f \left( x \right)$ существует предел на бесконечности, равный $~A$, то говорят, что функция $~f \left( x \right)$ стремится к $~A$ при стремлении $~x$ к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• $\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A$, или
• $f \left( x \right) \xrightarrow[x \to \infty]{} A$.

Если у функции $~f \left( x \right)$ существует предел на плюс бесконечности, равный $~A$, то говорят, что функция $~f \left( x \right)$ стремится к $~A$ при стремлении $~x$ к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• $\lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A$, или
• $f \left( x \right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} A$.

Если у функции $~f \left( x \right)$ существует предел на минус бесконечности, равный $~A$, то говорят, что функция $~f \left( x \right)$ стремится к $~A$ при стремлении $~x$ к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• $\lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A$, или
• $f \left( x \right) \xrightarrow[x \to -\infty]{} A$.

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \R \to \R,$ и $a \in M'.$.

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

  $\left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_1 \right) \land \left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2)$

Доказательство  

$\blacktriangleleft$    Доказательство методом от противного. Пусть существует $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ и $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ и $A_1\not= A_2$.

Предположим A₁ < A₂. Возьмём $\varepsilon = \frac{A_2-A_1}{2} >0$ и запишем определения:

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \Rightarrow \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) > 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_1}(a) \cap M \Rightarrow |f(x) - A_1| < \varepsilon$.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \Rightarrow \exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) > 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_2}(a) \cap M \Rightarrow |f(x) - A_2| < \varepsilon$.

Пускай δ = min(δ₁,δ₂) > 0, тогда $\forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \cap M$ : | f(x) − A₁ | < ε и | f(x) − A₂ | < ε

но тогда $|A_2 - A_1| = |(A_2 - f(x)) + (f(x) - A_1)| \le |A_2 - f(x)| + |f(x) - A_1|< 2\varepsilon = A_2 - A_1$

то есть $|A_2 - A_1| < A_2 - A_1 \Rightarrow$    Противоречие. Значит предел единственный.   $\blacktriangleright$

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),$

где $\dot{U}_{\epsilon}(a)$ — проколотая окрестность точки a.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);$

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);$

• Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

  $\exists \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \ne 0\Rightarrow \exists \delta >0:\ \forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \quad |f(x)|\ge \frac{A}{2}$

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

  $\left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);$

• Правило двух милиционеров

• Предел суммы равен сумме пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

• Предел разности равен разности пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

• Предел произведения равен произведению пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

• Предел частного равен частному пределов.

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

Примеры

• Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе.

  $\forall x_0 \in \R \colon \lim_{x \to x_0} c = c$

• Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке.

  $\forall x_0 \in \R \colon \lim_{x \to x_0} x = x_0$

• Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

  $\forall x_0 \in \R ~ \not\exists \lim_{x \to x_0} D \left( x \right)$

• Функция $~1/x$ имеет предел на бесконечности, равный нулю.

  $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

• Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.

  $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{arctg} ~ x = +\frac{\pi}{2}$

  $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{arctg} ~ x = -\frac{\pi}{2}$

  $\not \exists \lim_{x \to \infty} \operatorname{arctg} ~ x$

См. также

• Правило Лопиталя
• Замечательные пределы
• Повторный предел
• Непрерывная функция
• Список пределов

Литература

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.

• Виосагмир И.А. [rutracker_точка_org/forum/viewtopic.php?t=3280108 Высшая математика для чайников. Предел и непрерывность функции.] / Под ред. Виосагмира И.А. — М., 2011. — 89 с.

Ссылки

• Предел функции в точке. Теоретическая справка