Формула конечных приращений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Приращение

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция  f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка  c\in (a;b), что

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть f(t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f(b)-f(a) есть путь, пройденный с момента  t=a до момента  t=b , отношение \frac{f(b)-f(a)}{b-a} — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени t\in (a,b), то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство[править | править исходный текст]

Для функции одной переменной:

Введем функцию F(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:

f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Leftrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c),

что и требовалось доказать.

Следствия и обобщения[править | править исходный текст]

Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых x и y существует точка c, такая что f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) = 0.

Значит, при всех x и y верно равенство f(y) = f(x).

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция f(x) возрастает/убывает на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда её производная f'(x) на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции f(x).

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция f дифференцируема n раз в окрестности точки x, то для малых h (т.е. тех, для которых отрезок [x,x+h] лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)\frac{h^2}{2} + ... + f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!} + f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^{n}}{n!}

где \theta - некоторое число из интервала (0,1).

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При n=1 из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Следствие 3. Если функция n переменных f(x_1, x_2,\dots,x_n) дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство: \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} =  \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}

Доказательство для n=2. Зафиксируем значения \Delta x и \Delta y и рассмотрим разностные операторы

\Delta_x: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x} и \Delta_y: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}.

По теореме Лагранжа существуют числа \theta_1,\theta_2\in(0,1), такие что

\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2\Delta y) \rightarrow \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)

при (\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0 в силу непрерывности вторых производных функции f(x,y).

Аналогично доказывается, что \Delta_x\Delta_y f(x,y)\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Но так как \Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_x\Delta_y f(x,y), (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество d^2 = 0 для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a,b] и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: \int\limits_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a).

Доказательство. Пусть T - произвольное разбиение a=x_0 < x_1 < x_2 < ... <x_n = b отрезка [a,b]. Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков [x_{k-1}, x_k] найдём точку \xi_k такую, что f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = f(x_k) - f(x_{k-1}).

Суммируя эти равенства, получим: \sum\limits_{k=1}^{n} f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = \sum\limits_{k=1}^{n} (f(x_k) - f(x_{k-1})) = f(b) - f(a)

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла \int\limits_{a}^{b}f'(x)dx и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение F:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области \Omega пространства \mathbb{R}^n. Тогда |F(y) - F(x)| \leq \sup\limits_{\xi\in \Omega}|DF(\xi)|\cdot |y - x|.

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

См. также[править | править исходный текст]