Релятивистски равноускоренное движение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Релятивистски равноускоренное движение (или релятивистское равномерно ускоренное движение) — такое движение объекта, при котором ускорение постоянно в сопутствующей (собственной) системе отсчета, то есть в системе, в которой мгновенная скорость объекта равна нулю. Примером может быть движение тела постоянной массы под действием постоянной (в сопутствующей системе отсчёта) силы.

В отличие от классической механики, физическое тело не может всё время двигаться с неизменным (в фиксированной инерциальной системе отсчёта) ускорением, так как в этом случае его скорость рано или поздно превысит скорость света. В релятивистской механике постоянная сила, действующая на объект, непрерывно изменяет его скорость, оставляя её, тем не менее, меньше скорости света. Простейшим примером релятивистски равноускоренного движения является одномерное движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, направленном вдоль скорости[1].

Зависимость скорости от времени[править | править вики-текст]

При воздействии силы[2] \textstyle \mathbf{f} на объект массой \textstyle m, его импульс изменяется следующим образом [3]:

\mathbf{f} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}.

Если сила постоянна, то это уравнение легко интегрируется:

\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}=\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t,

где \textstyle \mathbf{a}=\mathbf{f}/m — постоянный вектор в направлении силы, а \textstyle \mathbf{w}_0 — константа интегрирования, выражающаяся через начальную скорость объекта \textstyle \mathbf{u}_0 в момент времени \textstyle t=0:

\mathbf{w}_0=\frac{\mathbf{u}_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2_0/c^2}}.

Явное выражение скорости через время имеет вид:

\mathbf{u}(t) = \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2/c^2}}.

Скорость частицы под воздействием постоянной силы стремится к скорости света, но никогда её не превышает. В нерелятивистском пределе малых скоростей зависимость скорости от времени принимает классический вид:

\mathbf{u} \approx \mathbf{u}_0+\mathbf{a}\,t.

Траектория движения[править | править вики-текст]

Траектория равноускоренного движения в общем случае зависит от ориентации постоянных векторов \textstyle \mathbf{a} и \textstyle \mathbf{w}_0. После интегрирования уравнения \textstyle \mathbf{u}(t)=d\mathbf{r}/dt получается следующее выражение:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0+\frac{\displaystyle\mathbf{a}\,c}{\displaystyle a^2}\, \left( \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2} - \sqrt{c^2+\mathbf{w}_0^2}\right) +\frac{[\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]}{a^2}\cdot\tau_0,

где \textstyle \mathbf{r}_0 — радиус-вектор положения тела в момент времени \textstyle t=0, а \textstyle \tau_0 — собственное время объекта [4]:

\tau_0 = \frac{c}{a}\cdot \ln\frac{\displaystyle \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}t)^2}+at+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}{\displaystyle \sqrt{c^2+\mathbf{w}^2_0}+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}.

Жирным шрифтом обозначены вектора, а обычным — их длины. Если собственное ускорение \textstyle \mathbf{a} и начальная скорость \textstyle \mathbf{u}_0 параллельны друг другу, то векторное произведение \textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]] равно нулю, и выражение для траектории заметно упрощается. В этом случае, если объект двигается вдоль оси x, то временная диаграмма на плоскости (x, t) является гиперболой x(t) = \mathrm{const} + \sqrt{c^2t^2+c^4/a^2}. Поэтому одномерное равноускоренное релятивистское движение иногда называют гиперболическим.

Собственное время \textstyle \tau_0 равно времени, прошедшему на часах, связанных с объектом, от начального момента \textstyle t=0 до момента времени \textstyle t в неподвижной системе отсчёта, относительно которой наблюдается движение. В результате замедления времени всегда \textstyle \tau_0<t.

В нерелятивистском пределе \textstyle c\to\infty (малые скорости) получается классическое уравнение равноускоренного движения:

\mathbf{r}(t)\approx \mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0\, t+ \frac{\mathbf{a}\,t^2}{2}.

Собственное ускорение[править | править вики-текст]

Постоянный вектор \textstyle \mathbf{a} имеет смысл обычного ускорения в мгновенной системе отсчёта, связанной c ускоряющимся телом. Если тело относительно своего предыдущего положения постоянно увеличивает скорость на \textstyle a\,dt', то в неподвижной системе отсчёта такое движение будет релятивистски равноускоренным. По этой причине параметр \textstyle a называется собственным ускорением. Приняв такое определение движения, можно получить зависимость скорости от времени, не обращаясь к динамике, оставаясь только в рамках кинематики теории относительности [5].

Излучение равномерно ускоренного заряда[править | править вики-текст]

Заряд e, движущийся с постоянным собственным ускорением a, излучает электромагнитные волны с мощностью P=\frac{2e^2 a^2}{3c^3}гауссовой системе). При этом радиационное трение отсутствует[6].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Движение заряженной частицы под углом, не равным 0 или 180°, к однородному электрическому полю не является равноускоренным, поскольку, вообще говоря, при лоренцевском преобразовании электромагнитное поле изменяется, что приводит к изменению действующей на тело силы в сопутствующей системе отсчёта. Исключение составляет лишь лоренцевское преобразование вдоль однородного электрического поля; в этом случае поле не меняется.
  2. В этой статье векторы выделены жирным шрифтом
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  4. Логунов А. А. — Лекции по теории относительности и гравитации: Современный анализ проблемы, М.: «Наука», 1987.
  5. Ускоренное движение в теории относительности
  6. В. Л. Гинзбург. Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда. // УФН, 98 (1969) 569—585.