Скорость

Скорость
$\vec v = \frac{d\vec r}{dt}$
Размерность	LT−1
Единицы измерения
СИ	м/с
СГС	см/с

Ско́рость (часто обозначается $\vec v$, от англ. velocity или фр. vitesse) — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Этим же словом может называться скалярная величина, точнее модуль производной радиус-вектора.

В науке используется также скорость в широком смысле, как быстрота изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения и т. д. Математически характеризуется производной функции.

Обобщениями понятия скорости является четырёхмерная скорость, или скорость в релятивистской механики, и обобщённая скорость, или скорость в обобщённых координатах.

Скорость тела в классической механике

Годограф скорости

Вектор скорости материальной точки в каждый момент времени определяется производной по времени радиус-вектора ${\vec r}$ этой точки:

$\vec v = {d{\vec r} \over dt} = v {\vec \tau},$

Здесь $\ v$ — модуль скорости, ${\vec \tau}$ — направленный вдоль скорости единичный вектор касательной к траектории в точке ${\vec r}$.

Скорость направлена вдоль касательной к траектории и равна по модулю производной дуговой координаты по времени.

Говорят, что тело совершает мгновенно-поступательное движение, если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).

В общем случае скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса величина скорости точек на ободе относительно дороги принимает значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости поступательного движения центра масс колеса (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей в твёрдом теле определяется с помощью кинематической формулы Эйлера.

Если скорость тела (как векторная величина) не меняется во времени, то движение тела называется равномерным (ускорение равно нулю) и тогда: Скорость — характеристика движения точки, при равномерном движении численно равная отношению пройденного пути s к промежутку времени t, за который этот путь пройден.

Иллюстрация средней и мгновенной скорости.

Следует отличать понятие средней скорости перемещения от понятия средней скорости пути, равной отношению пройденного точкой пути ко времени, за которое этот путь был пройден. В отличие от скорости перемещения, средняя скорость пути — скаляр.

Когда говорят о средней скорости, для различения, скорость согласно выше приведённому определению называют мгновенной скоростью.

Так, хотя мгновенная скорость бегуна, кружащего по стадиону, в каждый момент времени отлична от нуля, его средняя скорость (перемещения) от старта до финиша оказывается равной нулю, если точки старта и финиша совпадают. Заметим, что при этом средняя путевая скорость остаётся отличной от нуля.

В декартовых координатах

В прямоугольной декартовой системе координат:

$\mathbf v = v_x\mathbf i + v_y\mathbf j + v_z\mathbf k$

В то же время $\mathbf r = x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k$, поэтому

$\mathbf v = \frac {d(x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k)} {dt} = \frac {dx} {dt} \mathbf i + \frac {dy} {dt} \mathbf j + \frac {dz} {dt} \mathbf k$

Таким образом, координаты вектора скорости — это скорости изменения соответствующей координаты материальной точки:

$v_x = \frac {dx} {dt}; v_y = \frac {dy} {dt}; v_z = \frac {dz} {dt}$.

В полярных координатах

Скорость в полярных координатах

В цилиндрических координатах $R, \phi, z$:

$v_R = \frac {dR} {dt}; v_\phi = R \frac {d \phi} {dt}; v_z = \frac {dz} {dt}$.

$v_\phi$ носит название поперечной скорости, $v_R$ — радиальной.

В сферических координатах

В сферических координатах $R, \phi, \theta$:

$v_R = \frac {dR} {dt}; v_\phi = R \sin \theta \frac {d \phi} {dt}; v_\theta = R \frac {d\theta} {dt}$.

Обобщения

Обобщениями понятия скорости является четырёхмерная скорость, или скорость в релятивистской механики, и обобщённая скорость, или скорость в обобщённых координатах.

Четырёхмерная скорость

В специальной теории относительности каждому событию ставится в соответствие точка пространства Минковского, три координаты которого представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― временну́ю коодинату $c t$, где $c$ ― скорость света, $t$ ― время события. Компоненты четырёхмерного вектора скорости связаны с проекциями трёхмерного вектора скорости следующим образом:

$v_0=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}; v_1=\frac{v_x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}; v_2=\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}; v_3=\frac{v_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Четырёхмерный вектор скорости является времениподобным вектором, то есть лежит внутри светового конуса.

В обобщённых координатах

Следует различать координатную и физическую скорости. При введении криволинейных или обобщённых координат положение тел описывается их зависимостью от времени. Производные от координат тела по времени при этом называются координатными скоростями.

Преобразование скорости

В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта $S$ была равна $\vec v$, а скорость системы отсчёта $S'$ относительно системы отсчёта $S$ равна $\vec u$, то скорость тела при переходе в систему отсчёта $S'$ будет равна

$\vec v' = \vec v - \vec u$.

Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы $S$ в систему $S'$ необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей:

$v_x' = \frac{v_x - u}{1-(v_x u)/c^2}, v_y' = \frac{v_y \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2}, v_z' = \frac{v_z \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(v_x u)/c^2},$

в предположении, что скорость $\vec u$ направлена вдоль оси $x$ системы $S$. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Связанные понятия

Ряд понятий классической механики выражаются через скорость.

Импульс, или количество движения, — это мера механического движения тела, которая определяется как произведение массы тела на его скорость $\vec p=m\vec v$. Импульс является векторной величиной, его направление совпадает с направлением скорости. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса. Обобщением импульса в релятивистских системах является четырёхимпульс, временная компонента которого равна $E/c$. Для обобщённого импульса также выполняется равенство:

$p^\mu = m \, U^\mu\!,$

где $U^\mu$ — обобщённая четырёхмерная скорость.

От скорости также зависит кинетическая энергия механической системы. Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

$T = \frac{m v^2}{2}+\frac{\mathcal{I} \vec \omega^2}{2}$

где $\ m$ — масса тела, $\ v$ — скорость центра масс тела, $\mathcal{I}$ — момент инерции тела, $\vec \omega$ — угловая скорость тела.

Изменение скорости по времени характеризуется ускорением. Ускорение отражает изменение скорости как по величине (тангенциальное ускорение), так и по направлению (центростремительное ускорение):

$\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \vec a_\tau + \vec a_n = \frac{d |\vec v|}{dt} \vec e_\tau + {v^2 \over r}\vec e_n,$

где $\ r$ — радиус кривизны траектории тела.

В релятивистской механике угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта носит название быстроты (обозначается $~\theta$). Быстрота выражается формулой:

$\theta=c\,\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},$

где $\mathrm{Arth}\,x$ — ареатангенс, или гиперболический арктангенс. Быстрота стремится к бесконечности когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой необходимо пользоваться преобразованиями Лоренца, быстрота аддитивна, то есть

$\theta'=\theta+\theta_0,$

где $\theta_0$ — быстрота системы отсчёта $S'$ относительно системы отсчёта $S$.

Некоторые скорости

Космические скорости

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос.

Небесная механика изучает поведение тел Солнечной системы и других небесных тел. Движение искусственных космических тел изучается в астродинамике. При этом рассматривается несколько вариантов движения тел, для каждого из которых необходимо придание определённой скорости. Для вывода спутника на круговую орбиту ему необходимо придать первую космическую скорость (например, искусственный спутник Земли); преодолеть гравитационное притяжение позволит вторая космическая скорость (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту, но находящийся в Солнечной системе); третья космическая скорость нужна чтобы покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту и за пределы Солнечной системы); четвёртая космическая скорость позволит покинуть галактику.

В небесной механике под орбитальной скоростью понимают скорость вращения тела вокруг барицентра системы.

Скорость звука

Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде, определяется упругостью и плотностью среды. Скорость звука не является постоянной величиной и зависит от температуры (в газах), от направления распространения волны (в монокристаллах). При заданных внешних условиях обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды. В тех случаях, когда это не выполняется и скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука. Впервые измерена Уильямом Дерхамом. Как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях скорость звука меньше, чем в твёрдых телах, поэтому при сжижении газа скорость звука возрастает.

Отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде называется числом Маха по имени австрийского учёного Эрнста Маха. Упрощённо, скорость, соответствующая 1 Маху при давлении в 1 атм (у земли на уровне моря), будет равна скорости звука в воздухе. Движение аппаратов со скоростью, сравнимой со скоростью звука, сопровождается рядом явлений, которые называются звуковой барьер. Скорости от 1.2 до 5 Махов называются сверхзвуковыми, скорости выше 5 Махов — гиперзвуковыми.

Скорость света

Время распространения светового луча в масштабной модели Земля-Луна. Для преодоления расстояния от поверхности Земли до поверхности Луны свету требуется 1,255 с.

Скорость света в вакууме — абсолютная величина скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Традиционно обозначается латинской буквой «c» (произносится как [це]). Скорость света в вакууме — фундаментальная постоянная, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчёта (ИСО). Она относится к фундаментальным физическим постоянным, которые характеризуют не просто отдельные тела или поля, а свойства пространства-времени в целом. По современным представлениям, скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц и распространения взаимодействий.

Наиболее точное измерение скорости света 299 792 458 ± 1,2 м/с на основе эталонного метра было проведено в 1975 году.

Скорость гравитации

Скорость гравитации — скорость распространения гравитационных воздействий, возмущений и волн. До сих пор остаётся не определённой экспериментально, но согласно общей теории относительности должна совпадать со скоростью света.

Рекорды скорости

См. также: Рекорды скорости на автомобиле и Рекорды скорости на рельсах

Единицы измерения скорости

Линейная скорость:

• Метр в секунду, (м/с), производная единица системы СИ
• Километр в час, (км/ч)
• узел (морская миля в час)
• Число Маха, 1 Мах равен скорости звука; Max n в n раз быстрее. Как единица, зависящая от конкретных условий, должна дополнительно определяться.
• Скорость света в вакууме (обозначается c)

Угловая скорость:

• Радианы в секунду, принята в системах СИ и СГС. Физическая размерность 1/с.
• Обороты в секунду (в технике)
• градусы в секунду, грады в секунду

Соотношения между единицами скорости

• 1 м/с = 3,6 км/ч
• 1 узел = 1,852 км/ч = 0,514 м/c
• Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/ч (зависит от условий, в которых находится воздух)
• c = 299 792 458 м/c

Исторический очерк

Две стадии движения брошенного тела по теории Авиценны: отрезок АВ — период «насильственного стремления», отрезок ВС — период «естественного стремления» (падение вертикально вниз)

Автолик из Питаны в IV веке до н. э. определил равномерное движение: «О точке говорится что она равномерно перемещается, если в равные времена она проходит равные и одинаковые величины». Несмотря на то, что в определении участвовали путь и время, их отношение считалось бессмысленным, так как сравнивать можно было только однородные величины и скорость движения характеризовалась безразмерной величиной. Живший в то же время Аристотель делил движение на «естественное», когда тело стремится занять своё естественное положение, и «насильственное», под действием силы. В случае «насильственного» движения произведение величины «двигателя» и времени движения равно произведению величины «движимого» и пройденного пути, что соответствует формуле $Ft=ms$, или $F=mv$. Этих же взглядов придерживался Авиценна в XI веке, хотя и предлагал другие причины движения, а также Герард Брюссельский в конце XII - начале XIII века. Герард написал трактат «О движении» — первый европейский трактат по кинематике — в котором сформулировал идею определения средней скорости движения тела (при вращении прямая, параллельная оси вращения, движется «одинаково с любой своей точкой», а радиус — «одинако со своей серединой»).

В 1328 году увидел свет «Трактат о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» Томаса Брадвардина, в котором он нашёл несоответствие в физике Аристотеля и связи скорости с действующими силами. Брадвардин заметил, что по словесной формуле Аристотеля если движущая сила равна сопротивлению, то скорость равна 1, в то время как она должна быть равна 0. Он также представил свою формулу изменения скорости, которая хоть и была необоснованна с физической точки зрения, но представляла собой первую функциональную зависимость скорости от причин движения. Брадвардин называл скорость «количеством движения». Уильям Хейтсбери, в трактате «О местном движении» ввёл понятие мгновенной скорости. В 1330—1340 годах он и другие ученики Брадвардина доказали так называемое «мертонское правило», которое означает равенство пути при равноускоренном движении и равномерном движении со средней скоростью.

Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря среднему градусу, если бы тело двигалось всё время с этим средним градусом.

— «ментонское правило» в формулировке Сайнсхеда

В XIV веке Жан Буридан ввёл понятие импетуса, благодаря чему была определена величина изменения скорости — ускорение. Николай Орем, ученик Буридана, предложил считать, что благодаря импетусу ускорение остаётся постоянным (а не скорость, как полагал сам Буридан), предвосхитив, таким образом, второй закон Ньютона. Орем также использовал графическое представление движения. В «Трактате о конфигурации качеств и движения» (1350) он предложил изображать отрезками перпендикулярных прямых количество и качество движения (время и скорость), иными словами, он нарисовал график изменения скорости в зависимости от времени.

По мнению Тарталья, только вертикальное падение тела является «естественным» движением, а все остальные — «насильственные», при этом у первого типа скорость постоянно возрастает, а у второго — убывает. Два этих типа движения не могут проистекать одновременно. Тарталья считал, что «насильственные» движения вызваны ударом, результатом которого является «эффект», определяемый скоростью. С критикой работ Аристотеля и Тартальи выступал Бенедетти, который вслед за Оремом пользовался понятиями импетуса и ускорения.

Второй закон Кеплера: закрашенные площади равны и проходятся за одинаковое время

В 1609 году в работе «Новая астрономия» Кеплер сформулировал закон площадей, согласно которому секторная скорость планеты (площадь, описываемая отрезком планета-Солнце, за единицу времени) постоянна. В «Началах философии» Декарт сформулировал закон сохранения количества движения, которое в его понимании есть произведение количества материи на скорость, при этом Декарт не принимал во внимание тот факт, что количество движения имеет не только величину, но и направление. В дальнейшем понятие «количество движения» развивал Гук, который понимал его как «степень скорости, присущей в определённом количестве вещества». Гюйгенс, Валлис и Рено добавили к этому определению направление. В таком виде во второй половине XVII века количество движения стало важным понятием в динамике, в частности в работах Ньютона и Лейбница. При этом Ньютон не определял в своих работах понятие скорости. По-видимому, первая попытка явного определения скорости была сделана Валлисом в его трактате «Механика или геометрический трактат о движении» (1669—1671): «Скорость есть свойство движения, отражающееся в сравнении длины и времени; а именно, она определяет, какая длина в какое время проходится».

В XVII веке были заложены основы математического анализа, а именно интегрального и дифференциального исчисления. В отличие от геометрических построений Лейбница, теория «флюксий» Ньютона строится на потребностях механики и имеет в своём основании понятие скорости. В своей теории Ньютон рассматривает переменную величину «флюенту» и её скорость изменения — «флюксию».

См. также

• Кинематика

Литература

• Яковлев В. И. Предыстория аналитической механики. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — 328 с.

Механическое движение