Связность (некоммутативная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия[en] и супергеометрия) может быть сформулирована в алгебраических терминах модулей и алгебр. Связность на модулях обобщает линейную связность на векторных расслоениях E\to X, записанную как связность на C^\infty(X)-модуле сечений E\to
X.[1]

Коммутативная геометрия[править | править вики-текст]

Пусть A — коммутативное кольцо и P — A-модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на P.[2] Пусть D(A) — модуль дифференцирований кольца A. Связность на A-модуле P определяется как морфизм A-модулей

 \nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P),

такой что дифференциальные операторы первого порядка \nabla_u на P удовлетворяют правилу Лейбница

\nabla_u(ap)=u(a)p+a\nabla_u(p), \quad a\in A, \quad p\in
P.

Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности \nabla определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка

R(u,u')=[\nabla_u,\nabla_{u'}]-\nabla_{[u,u']}.

На модуле P для всех u,u'\in D(A).

Если E\to X — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями \Gamma на E\to X и связностями \nabla на C^\infty(X)-модуле сечений of E\to
X. При этом, \nabla соответствует ковариантному дифференциалу связности на E\to X.

Супергеометрия[править | править вики-текст]

Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над \mathbb Z_2-градуированными алгебрами.[3] Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.

Некоммутативная геометрия[править | править вики-текст]

Если A — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых A-модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом.[4] Однако такие связности не обязательно существуют.

В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на R-S-бимодулях над некоммутативными кольцами R и S. Существуют различные определения таких связностей.[5] Приведем одно из них. Связность на R-S-бимодуле P определяется как морфизм бимодулей

 \nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P),

который удовлетворяет правилу Лейбница

\nabla_u(apb)=u(a)pb+a\nabla_u(p)b +apu(b), \quad a\in R,
\quad b\in S, \quad p\in P.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Koszul (1950)
  2. Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
  3. Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
  4. Landi (1997)
  5. Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Литература[править | править вики-текст]

  • Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
  • Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
  • Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
  • Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
  • Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
  • Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
  • Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515