Седловая поверхность

Гиперболический параболоид

Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая) — это гладкая поверхность, все точки которой седловые.

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Седло для верховой езды

Определение

Поверхность $\Pi$ называется (строго) седловой если для любой точки $p\in\Pi$ произведение главных кривизн $k_1(p){\cdot}k_2(p)$ (отрицательно) неположительно.

Примеры

• Гиперболический параболоид
• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид.
• Обезьянье седло.

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну.
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Обезьянье седло

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность $s(u,v)$ в $\R^3$ называтся (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции $\ell\colon\R^3\to \R$ композиция $\ell\circ s$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

См. также

• Поверхность второго порядка
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Коническая поверхность
• Обезьянье седло

Литература

• Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
• Фоменко В.Т., Поверхности отрицательной кривизны. — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999. [1]