Стоячая волна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стоячая волна — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует[1].

Стоячая волна (чёрная) изображена в виде суммы двух волн (красная и синяя), распространяющихся в противоположных направлениях. Красные точки обозначают узлы

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе[2]; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде[3] и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.


В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

 u = u_0 \cos kx \cos(\omega t - \varphi) ,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, u_0 — амплитуда стоячей волны,  \omega  — частота , k — волновой вектор,  \varphi  — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Моды[править | править исходный текст]

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн[править | править исходный текст]

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую ​​же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)
y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)

где:

  • y0 — амплитуда волны,
  • \omega  — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
  • k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как 2\pi поделённое на длину волны \lambda ,
  • x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y1 и y2:

y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).

Если рассматривать моды x = 0, \lambda /2, 3\lambda /2,... и антимоды x = \lambda /4, 3\lambda /4, 5\lambda /4,..., то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны \lambda /2.

Волновое уравнение[править | править исходный текст]

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

\left (\nabla^2  - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right )u = 0

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

 \left (\nabla^2  - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right) u = f_0 u ,

где f_0- выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. IEEE Electrical Engineering Dictionary / P.A.Laplante, ed. CRC Press LLC, 2000.
  2. Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»
  3. или в активной среде

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»