Теорема Безу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Безу утверждает что

Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

[править] Следствия

• Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x − a.
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

[править] Доказательство теоремы Безу

Поделим с остатком P(x) = (x − a)Q(x) + R(x). Так как degR(x) < deg(x − a) = 1, R(x) — многочлен степени 0. Подставляя a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(x).

[править] Применение теоремы Безу

Пользуясь теоремой Безу (а особенно последние два следствия), можно находить рациональные корни полиномиальных уравнений.