Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на многочлен $x-a$:

$P(x) = (x - a)Q(x) + R(x).$

Так как $\deg R(x) < \deg (x-a) = 1$, то $R(x)$ — многочлен степени не выше 0. Подставляя $x=a$, поскольку $(a - a)Q(a) = 0$, имеем $P(a) = R(a)$.

Следствия

• Число a является корнем многочлена $p(x)$ тогда и только тогда, когда $p(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

• Основная теорема алгебры