Теорема Безу

См. другое значение: Теорема Безу (алгебраическая геометрия) о числе общих точек алгебраических кривых.

Не следует путать с Соотношением Безу (тождеством Безу) — выражением для наибольшего общего делителя.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на двучлен $x-a$:

$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),$

где $R(x)$ — остаток. Так как $\deg R(x)<\deg(x-a)=1$, то $R(x)$ — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за $r$. Подставляя $x=a$, поскольку $(a-a)Q(a)=0$, имеем $P(a)=R(x)=r$.

Следствия

• Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть $a$ — целый корень приведённого многочлена $A(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $A(k)$ кратно $a-k$.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также

• Основная теорема алгебры

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
• Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.