Теорема Безу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a) равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство[править | править вики-текст]

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x-a:

P(x) = (x - a)Q(x) + R(x).

Так как \deg R(x) < \deg (x-a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x=a, поскольку (a - a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Следствия[править | править вики-текст]

  • Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x-a (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x)=0).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть a — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на a-k.

Приложения[править | править вики-текст]

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также[править | править вики-текст]