Основная теорема алгебры
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что
|
Всякий отличный от константы многочлен с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. |
Эквивалентная формулировка теоремы следующая:
|
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. |
Содержание |
[править] Следствие
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.
Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.
[править] Доказательство
Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.
[править] История
Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (р. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной:
|
Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. |
Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x f(x)≠0, где f(x) — многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.
Со времён доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня «основной» эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Кроме того, доказательство теоремы не вполне «алгебраическое», оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.
[править] Ссылки
- В.М.Тихомиров, В.В.Успенский Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50-70.
