Основная теорема алгебры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень на поле комплексных чисел.

Данное утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным, с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же, теорема не является "основной" в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений с вещественными и комплексными коэффициентами.


Доказательство[править | править исходный текст]

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция 1/p, где p — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Следствие[править | править исходный текст]

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом их кратности.

Доказательство следствия[править | править исходный текст]

У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x-a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель.

История[править | править исходный текст]

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (ум. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку, придав ей форму, эквивалентную современной:

Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.


Д'Аламбер первым в 1746 году опубликовал доказательство этой теоремы. Оно основывалось на лемме, что для любой точки, не являющейся корнем многочлена, найдётся точка с меньшим модулем многочлена от этой точки, то есть \forall x: f(x) \neq 0 \ \Rightarrow \exist y: |f(y)|<|f(x)|. Это доказательство было бы строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом.

Гаусс первым дал доказательство без этого предположения, единственным используемым им, но недоказанным утверждением была теорема Больцано — Коши для многочлена. Она утверждает, что многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, имеет корень. Доказательство Гаусса, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.


См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]