Теорема Кантора — Гейне

Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho_X)$ и $(Y,\varrho_Y).$ Пусть также дано компактное подмножество $K \subset X$ и определённая на нём непрерывная функция $f\colon K \to Y, f\in C(K).$ Тогда $f$ равномерно непрерывна на $K.$

Доказательство  

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть $f(x)$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое $\varepsilon$, что для всех $\delta>0$ существуют такие $x$ и $y$, расстояние между которыми меньше $\delta$, но расстояние между их образами не менее $\varepsilon$:

$\exists \varepsilon>0\colon\quad \forall \delta>0\ \exists x_{\delta},y_{\delta} \in A\colon\quad d(x,y)< \delta,$ но $d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon.$

Возьмём последовательность $\{\delta_k\}$, сходящуюся к 0, например, $\left\{\frac{1}{k}\right\}$. Построим последовательности $x_k$ и $y_k$ так, чтобы

$d(x_k,y_k)<\frac{1}{k}$, но $d(f(x_k),f(y_k))\geqslant\varepsilon$

$A$ — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности:

$x_{k_j} \to \bar x \in A, \quad y_{k_j} \to \bar y \in A.$

Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: $\bar x = \bar y = \zeta$. И, так как $f$ непрерывна $f(x_{k_j}) \to f(\zeta), \quad f(y_{k_j}) \to f(\zeta) \Rightarrow d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j})) \to 0$, что противоречит предположению, что $d(f(x_k),f(y_k))\geqslant \varepsilon$.

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f\colon[a,b]\subset \R \to \R$ равномерно непрерывна на нём.
• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

$f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.