Теорема Кантора — Гейне

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ка́нтораГе́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть даны два метрических пространства (X,\varrho_X) и (Y,\varrho_Y). Пусть также дано компактное подмножество K \subset X и определённая на нём непрерывная функция f\colon K \to Y, f\in C(K). Тогда f равномерно непрерывна на K.

Замечания[править | править исходный текст]

  • В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, f\colon[a,b]\subset \R \to \R равномерно непрерывна на нём.
  • В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.