Равномерная непрерывность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Понятие непрерывности в общем смысле означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности также требует, чтобы величина, ограничивающая отклонение значения функции, зависела только от величины отклонения аргумента, но не его значения, т.е. имела постоянный характер на всей области определения функции.

Определения[править | править вики-текст]

Равномерная непрерывность числовых функций[править | править вики-текст]

Числовая функция вещественного переменного f:M \subset \R \to \R равномерно непрерывна, если

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).

Здесь важно, что выбор \delta зависит только от величины \varepsilon.

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств[править | править вики-текст]

Пусть даны два метрических пространства (X,\varrho_X) и (Y,\varrho_Y).

Отображение f\colon X \to Y называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве M \subset X, если

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr).

Свойства[править | править вики-текст]

Пример[править | править вики-текст]

  • Функция
f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как существует \varepsilon>0 такое, что можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на \varepsilon.

  • Другой пример: функция
f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.

Всегда можно выбрать \varepsilon>0 для любого отрезка сколь угодно малой длины \varepsilon/x такое, что разница значений функции f(x)=x^2 на концах отрезка будет больше \varepsilon. В частности, на отрезке \left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right) разница значений функции стремится к 2\varepsilon.

См. также[править | править вики-текст]