Равномерная непрерывность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Определения[править | править вики-текст]

Равномерная непрерывность числовых функций[править | править вики-текст]

Числовая функция вещественного переменного f:M \subset \R \to \R равномерно непрерывна, если

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).

Здесь важно, что выбор \delta зависит только от величины \varepsilon.

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств[править | править вики-текст]

Пусть даны два метрических пространства (X,\varrho_X) и (Y,\varrho_Y).

Отображение f\colon X \to Y называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве M \subset X, если

\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr).

Свойства[править | править вики-текст]

Пример[править | править вики-текст]

  • Функция
f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как существует \varepsilon>0 такое, что можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на \varepsilon.

  • Другой пример: функция
f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.

Всегда можно выбрать \varepsilon>0 для любого отрезка сколь угодно малой длины \varepsilon/x такое, что разница значений функции f(x)=x^2 на концах отрезка будет больше \varepsilon. В частности, на отрезке \left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right) разница значений функции стремится к 2\varepsilon.

См. также[править | править вики-текст]