Отрезок

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Line Segment jaredwf.svg

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии[править | править исходный текст]

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки \;A и \;B (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — [A;\;B]. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок \;AB». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как \;|AB|.

Отрезок числовой прямой[править | править исходный текст]

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел x~, удовлетворяющих неравенству a \le x \le b, где заранее заданные вещественные числа a~ и b~ (a<b)~ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x~, удовлетворяющие неравенству a<x<b~, называются внутренними точками отрезка.[1]

Отрезок обычно обозначается [a, b]:

[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}.

Любой отрезок заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b-a\, называется длиной числового отрезка [a, b].

Стягивающаяся система сегментов[править | править исходный текст]

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой \{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}.

Система сегментов обозначается \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}. Подразумевается, что каждому натуральному числу ~n поставлен в соответствие отрезок ~[a_n, b_n].

Система сегментов \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} называется стягивающейся, если[2]

  • каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
    \forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]
  • соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
    \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

Направленный отрезок[править | править исходный текст]

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB и BA представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также[править | править исходный текст]