Теорема Кэли (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа (G,\circ) изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент a \in G сопоставляется с перестановкой \pi_a, задаваемой тождеством \pi_a(g)=a \circ g, где g — произвольный элемент группы G.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим группу \ G = \mathbb{Z}_4 , с заданной операцией + . Найдём её отображение в \ S_4, то есть найдём подгруппу \ S_4 изоморфную \ G.

Определим отображение \ \varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4

 \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3  \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}

 \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3  \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}

 \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3  \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}

 \varphi(3)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3  \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Построение это не случайное. Для примера рассмотрим  \varphi(1). Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы \ G= \mathbb{Z}_4) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру,  \varphi(0) задаёт тождественное отображение \mathrm{id}_G(g)  = g. В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию g+0, то есть получим g+0=g, то есть нижняя строчка перестановки идентична верхней.

Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка  \varphi(0) задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 0. Перестановка  \varphi(1) задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 1.  \varphi(2) задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 2.  \varphi(3) задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы \ \mathbb{Z}_4.

Обратите внимание, отображение \ \varphi является гомоморфизмом. К примеру, \ \varphi(1)^2=\varphi(2)=\varphi(1+1). Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

Доказательство теоремы[править | править вики-текст]

Пусть \ G конечная группа порядка \ n. Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок \ S_n. Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию \ \phi : G \rightarrow S_G, где \ S_G является собранием перестановок G. Группу \ \phi(g) : G \rightarrow G определяем с помощью умножения слева \ (\phi(g))(x) = gx (в примере приведённом выше это была операция сложения в \mathbb{Z}_4).

Докажем, что мы получили перестановку. Если \ gx=gy, то \ x=y, так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует g^{-1}). Кроме того, действие \ \phi(gh) на элемент группы x равняется \ (\phi(gh))(x) = (gh)x и это равняется \ \phi(g)(\phi(h)(x)) = \phi(g)(hx) = g(hx) в виду ассоциативности G. Наконец, если \ \phi(g)=\phi(h) то тогда \ g = \phi(g)(1) = \phi(h)(1) = h и поэтому \ \phi является инъективной (1-1).

Литература[править | править вики-текст]

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Александров П.С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.