Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние в математике — отображение, переводящее аргумент в себя.

Определение

Пусть $X$ произвольное множество. Тогда тождественное отображение $X$ на $X$ представляет собой функцию, такую что

$\mathrm{id}_X(x) = x$

для любого $x \in X$.

Свойства

• Пусть $F:X \to Y$ — произвольная функция. Тогда
      $F \circ \mathrm{id}_X = F$,
      $\mathrm{id}_Y \circ F = F$,
  где $\circ$ обозначает композицию функций.
• В частности, $\mathrm{id}_X$ является нейтральным элементом
  • моноида, образованного отображениями из $X$ в $X$;
  • симметрической группы перестановок множества X.
• Пусть $F: X \to Y$ — биекция, и $F^{-1}$ — её обратная функция. Тогда
      $F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$,
      $F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$.