Теорема Ролля
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
|
Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. |
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
Содержание |
[править] Геометрический смысл
Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
[править] Следствие
Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
[править] См. также
[править] Примечания
- ↑ Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. - Численные методы, стр.43
[править] Литература
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.
