Теорема Ролля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале (a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.


Доказательство[править | править исходный текст]

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрический смысл[править | править исходный текст]

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствие[править | править исходный текст]

Если дифференцируемая функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n-1 различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. - Численные методы, стр.43

Литература[править | править исходный текст]

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.