Промежуток (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество действительных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними[1]. С использованием логических символов, это определение можно записать так: X \subset \mathbb{R} — промежуток, если

\forall x \forall y \forall z \biggl( (x \in X ) \wedge (z \in X ) \wedge (x <y < z) \Rightarrow y \in X \biggr)

В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

\begin{matrix} X_1 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x \leqslant 1\}, & X_2 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x < 1\}, & X_3 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x < 1\}, \\ X_4 = \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x < 1\}, & X_5 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x > 0\}, & X_6 = \{ x \in \mathbb{R} \colon x < 1\},\\ X_7 = \mathbb{R}, & X_8 = \varnothing & \end{matrix}

Содержание

[править] Типы промежутков

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между между двумя числами a и b — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет[1].

Если a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, то промежуток \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \} называется отрезком, и обозначается [a,b]:

[a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}

В случае a = b отрезок состоит из одной точки.

Если a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, то промежуток \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \} называется интервалом, и обозначается (a,b):

(a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}

Промежутки

[a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}, \quad (a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}

называются полуинтервалами.

Длиной промежутка во всех случаях называется число b − a.

Бесконечные промежутки

\{x \in \mathbb{R} \colon x \geqslant a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x > a \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x \leqslant b \}, \quad \{x \in \mathbb{R} \colon x < b \}, \quad \mathbb{R}

не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо действительным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа +\infty, -\infty, полагая, что для любого действительного числа x \in \mathbb{R} справедливы неравенства x < + \infty, x > -\infty. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно

[a, +\infty), \quad (a, +\infty), \quad (-\infty, b], \quad (-\infty, b), \quad (-\infty, +\infty)

Пустое множество \varnothing также является промежутком.

[править] Промежутки расширенной числовой прямой

Основная статья: Расширенная числовая прямая

Множество действительных чисел \mathbb{R}, дополненное элементами +\infty и -\infty, называется расширенной числовой прямой и обозначается \overline{\mathbb{R}}, то есть

\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}

При этом для любого действительного числа x \in \mathbb{R} по определению полагают выполненными неравенства

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Для расширенной числовой прямой также вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов[1]. В отличии от соответствующих промежутков числовой прямой они могут содержать элементы \pm \infty. Например, (a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\}}.

[править] Терминология

Иногда для промежутков используется другая терминология[2]. В английском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному слову — англ. interval. В англоязычной литературе, и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке, используется следующая терминология:

[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}  — замкнутый интервал (англ. closed interval)
(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}  — открытый интервал (англ. open interval)
[a,b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}  — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)
(a,b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}  — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval)

Соответственно, любой промежуток (в смысле определения, данного выше в этой статье) называется интервал (англ. interval). Также в русскоязычной литературе можно встретить[3] эти же термины, в которых вместо слова интервал используется промежуток: замкнутый промежуток, открытый промежуток, полуоткрытый (или полузамкнутый) промежуток.

См. также открытые и замкнутые множества.

Также в некоторых книгах[4] отрезок называется сегментом, а полуинтервал — полусегментом.

[править] Факты

[править] Теорема о промежуточных значениях

Основная статья: Теорема Больцано — Коши

Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении снова есть промежуток. Как следует из обобщения этой теоремы на случай произвольных топологических пространств, эта теорема — следствие того факта, что промежутки — в точности связные подмножества \mathbb{R}. См. ниже связные множества.

[править] Мера

Основная статья: Мера Лебега

Промежутки числовой прямой, прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются отправной точкой в теории меры, поскольку являются простейшими множествами, меру которых (длину, площадь, объем и т. п.) легко определить.

[править] Обобщения

[править] Связные множества

Основные статьи: Связное пространство, Линейно связное пространство

Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности. Во множестве действительных чисел \mathbb{R}, а также в евклидовом пространстве \mathbb{R}^n произвольной размерности n понятия связности и линейной связности совпадают.

[править] Выпуклые множества

Основная статья: Выпуклое множество

Другое обобщение понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества.

[править] Промежутки в частично упорядоченных множествах

Основная статья: Частично упорядоченное множество

В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка < .

[править] Примечания

  1. ↑ 1 2 3 Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 64-65. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
  2. ↑ Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — С. 17-18. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6
  3. ↑ Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. — Т. 1. — С. 35. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
  4. ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. — Т. 1. — С. 56-57. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1

[править] Литература

  • Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2005. — Т. 1. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
  • Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X

[править] См. также

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)»