Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть $f\colon[a,\;b]\to\R$ и $f\in C\bigl([a,\;b]\bigr)$. Пусть

$M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x),\quad m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)$

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции $f$ соответственно. Тогда эти значения конечны ($-\infty<m\leqslant M<\infty$) и достигаются (существуют $x_m,\;x_M\in[a,\;b]$ такие, что $f(x_m)=m,\;f(x_M)=M$).

  

Доказательство  

Доказательство для R

Пусть $f(x)$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$), $M = \sup_A f$. Возьмём последовательность чисел $a_m$ таких, что $\lim a_m = M$ и $a_m < M$. Для каждого $m$ найдётся точка $x_m$, такая что $a_m < f(x_m)$. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности $x_m$ можно выделить сходящуюся последовательность $\{x_{m_k}\}$, предел которой лежит в $A$.

Для любого $x_m$ справедливо $a_m < f(x_{m_k}) < M$, поэтому, применяя предельный переход, получаем $\lim f(x_{m_k}) = M$ и в силу непрерывности функции существует точка $x_0$ такая, что $\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)$ и, следовательно $M = f(x_0)$.

Таким образом функция $f(x)$ ограничена и достигает своей верхней грани при $x = x_0$. Аналогично и для нижней грани.

Замечания

• По определению точки $x_m$ и $x_M$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
• В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

  $\mathrm{tg}\colon\left(-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right)\to\R$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

• Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса - первую и вторую соответственно.

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция $f\colon[a,\;b]\to\R$ полунепрерывна сверху. Тогда

  $M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)<+\infty$ и $\exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.$

• Пусть функция $f\colon[a,\;b]\to\R$ полунепрерывна снизу. Тогда

  $m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.$

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство $(X,\;\mathcal{T})$ и компактное подмножество $K\subset X$. Пусть дана непрерывная функция $f\colon K\to\R,\;f\in C(K)$. Тогда

$-\infty<m\equiv\inf\limits_{x\in K}f(x)\leqslant M\equiv\sup\limits_{x\in K}f(x)<+\infty$

и

$\exists x_m,\;x_M\in K\colon f(x_m)=m,\;f(x_M)=M.$

См. также

• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции.
• Теорема Больцано — Коши.