Теорема о рациональных корнях

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

с целыми коэффициентами $a_{i}$и $a_{0},a_{n}\neq 0$.

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень $x=p/q$, где $p$ и $q$ — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что

• $p$ является делителем свободного члена $a_{0}$,

• $q$ является делителем старшего коэффициента $a_{n}$.

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Применение

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень $x=r$ найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на $(x-r)$ с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение в общем виде:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Доказательство

Пусть:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0},...a_{n}\in Z$.

Предположим, что $P(p/q)=0$ для некоторых взаимно простых целых $p$ и $q$:

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0$.

Умножая обе части уравнения на $q^{n}$, вынося $p$ за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}$.

Видно, что $p$ является делителем $a_{0}q^{n}$. Но $p$ и $q$ — взаимно простые числа, значит, $p$ также должно быть делителем $a_{0}$.

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести $q$ за скобки, получим:

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}$.

Сделаем вывод о делимости $a_{n}$ на $q$.

Примеры

Пример 1

Каждый рациональный корень многочлена

$2x^{3}+x-1$

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются $\pm {\frac {1}{2}}$ и $\pm 1$. Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

Каждый рациональный корень многочлена

$x^{3}-7x+6$

должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Из них $1$, $2$ и $-3$ обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

Литература

• Miller C. D., Lial M. L., Schneider D. I. Fundamentals of college algebra (англ.). — 3rd edition. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221. — ISBN 0-673-38638-4.
• Jones P. S., Bedient J. D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Dover Courier Publications, 1998. — P. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8.
• Larson R. Calculus: an applied approach (англ.). — Cengage Learning, 2007. — P. 23–24. — ISBN 978-0-618-95825-2.