Деление многочленов столбиком

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов f(x) и g(x), g(x) \ne 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

\frac{f(x)}{g(x)}=q(x) + \frac{r(x)}{g(x)},

причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).[1]

Пример[править | править вики-текст]

Покажем, что

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x-3}

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \left( x^3 / x = x^2 \right).


\begin{matrix}
x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\
\qquad\qquad\qquad\quad\; \vert x^2\\
\end{matrix}

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого \left( x^2 \cdot \left( x-3 \right) = x^3 - 3x^2 \right).


\begin{matrix}
x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\
x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\; \vert x^2 \quad\; \\
\end{matrix}

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \left( x^3 - 12x^2 + 0x - 42 - \left( x^3 - 3x^2 \right) = - 9x^2 + 0x - 42 \right).


\begin{matrix}
x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\
\underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;} \vert x^2 \quad\; \\
- 9x^2 + 0x - 42 \;\;
\end{matrix}

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.


\begin{matrix}
x^3 - 12x^2 + \;\; 0x - 42 \vert x-3 \quad \\
\underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert x^2 - 9x} \\
- 9x^2 \;\; + 0x - 42 \quad\;\; \\
\underline{- 9x^2 + 27x \qquad\;} \quad\;\; \\
\quad\; - 27x - 42
\end{matrix}

5. Повторяем шаг 4.


\begin{matrix}
x^3 - 12x^2 + \;\; 0x - 42 \vert x-3 \qquad\quad\; \\
\underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert x^2 - 9x - 27} \\
- 9x^2 \;\; + 0x - 42 \qquad\quad\;\;\; \\
\underline{- 9x^2 + 27x \qquad\;} \qquad\quad\;\;\; \\
- 27x - 42 \quad \\
\underline{- 27x + 81} \quad \\
\quad\; - 123
\end{matrix}

6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = x^2 - 9x - 27 — частное деления, а r(x) = - 123 — остаток.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сканави М. И. Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1972. — С. 142—147. — 592 с.