Топология Гротендика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Топология Гротендика — это структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом[1] или сайтом[2].

Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия. Используя это определение покрытия, делается возможным определение пучков на категории и их когомологий. Впервые это было сделано Александром Гротендиком, для того, чтобы определить этальные когомологии схемы.

Существует естественный способ сопоставить топологическому пространству топологию Гротендика, поэтому топологии Гротендика часто рассматривают как обобщение обычных топологий. Для большого класса топологических пространств действительно можно восстановить топологию по её топологии Гротендика, однако уже для антидискретного пространства это не так.

Определение[править | править вики-текст]

Мотивировка[править | править вики-текст]

Классическое определение пучка начинается с некоторого топологического пространства X. Ему сопоставляется категория O(X), объекты которой — открытые множества топологии, а множество морфизмов между двумя объектами состоит из одного элемента, если первое множество вложено во второе (эти отображения называют открытыми вложениями), и пусто иначе. После этого предпучок определяется как контравариантный функтор в категорию множеств, а пучок — как предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки. Аксиома склейки формулируется в терминах поточечного покрытия, то есть {Ui} покрывает U тогда и только тогда, когда \cup i Ui = U. Топологии Гротендика заменяют каждое Ui целым семейством открытых множеств; более точно, Ui заменяется семейством открытых вложений VijUi. Такое семейство называется решетом.

Решёта[править | править вики-текст]

Если c — произвольный объект категории C, то решето на c — это подфунктор функтора Hom(−, c). В случае категории O(X), решето S на открытом множестве U — это некоторое семейство открытых подмножеств U, замкнутое относительно операции взятия открытого подмножества. Объясним это подробнее. Рассмотрим произвольное открытое множество V, тогда S(V) — это подмножество Hom(V,U), соответственно, оно пусто, если V — не подмножество U, и может состоять из одного элемента иначе; если оно непусто, можно считать, что V выбрано решетом. Если W — подмножество V, существует морфизм S(V) → S(W), поэтому если S(V) не пусто, то и S(W) не пусто.

Аксиомы[править | править вики-текст]

Топология Гротендика J на категории C — это выбор для каждого объекта с категории C набора решёт на c, обозначаемого J(c). Элементы J(c) называются покрывающими решётами на c. (В нашем примере, решето S на открытом множестве U является покрывающим тогда и только тогда, когда объединение всех V, таких что S(V) непусто, есть всё U.) Этот выбор должен удовлетворять следующим аксиомам:

  • (T 1) (Замена базы) Если S — покрывающее решето на X и f: YX — морфизм, то прообраз решета под действием f (f^\astS) является покрывающим решетом на Y.
  • (T 2) (Локальный характер) Пусть S — покрывающее решето на X и T — произвольное решето на X. Предположим, что для каждого объекта Y категории C и каждого морфизма f: YX, принадлежащего S(Y), прообраз решета f^\astT является покрывающим решетом на Y. Тогда T — покрывающее решето на X.
  • (T 3) (Единица) Hom(−, X) — покрывающее решето на X для любого объекта X категории C.

Замена базы соответствует идее о том, что если {Ui} покрывает U, то {UiV} покрывает UV. Локальный характер соответствует тому, что если {Ui} покрывает U и {Vij} покрывает Ui для каждого i, то все {Vij} покрывают U. Наконец, единица соответствует тому, что каждое множество можно покрыть объединением всех его подмножеств.

Ситусы и пучки[править | править вики-текст]

Пусть C — категория и J — топология Гротендика на ней. Пара (C, J) называется ситусом.

В категории O(X) можно определить пучок при помощи аксиомы склейки. Оказывается, что пучок можно определить в любой категории с топологией Гротендика. А именно, пучок на ситусе — это пучок F, такой что для любого объекта X и покрывающего решета S на X естественное отображение Hom(Hom(−, X), F) → Hom(S, F), индуцированное вложением S в Hom(−, X), является биекцией. Морфизм между пучками, так же как и морфизм между предпучками — естественное преобразование функторов. Категория всех пучков на ситусе называется топосом. Аналогично определяются пучки, абелевых групп, колец, модулей и т. д.

Используя лемму Йонеды, можно доказать, что пучок в категории O(X), определенный указанным выше способом, совпадает с пучком в топологическом смысле.

Примеры ситусов[править | править вики-текст]

Дискретная и антидискретная топология[править | править вики-текст]

Пусть C — произвольная категория. Дискретная топология на C задается объявлением всех решет открытыми. Чтобы задать антидискретную топологию, нужно считать открытыми только решёта вида Hom(−, X). В антидискретной топологии любой предпучок является пучком.

Каноническая топология[править | править вики-текст]

Пусть C — произвольная категория. Каноническая топология на ней — это наиболее тонкая топология, такая что все представимые предпучки (функторы вида Hom(−, X)) являются пучками. Топология, являющася менее тонкой (то есть топология, такая что любой представимый предпучок является пучком) называется подканоничной, большинство встречающихся на практике топологий подканоничные.

Малый и большой ситус, ассоциированные с топологическим пространством[править | править вики-текст]

Фактически мы уже проговорили процедуру сопоставления топологическому пространству малого ситуса — в категории O(X) покрывающими объявляются такие решёта S, что объединение всех V, таких что S(V) непусто, совпадает со всем U.

Теперь, пусть Top — категория топологических пространств и S — решето на ней. Будем называть S покрывающим решетом, если выполняются следующие условия:

  • Для всех Y и морфизмов f : YX, принадлежащих S(Y), существует объект V и стрелка g : VX, такие что g — открытое вложение, g принадлежит S(V) и f проносится через g.
  • Если W — объединение f(Y), где f : YX пробегает S(Y), то W = X.

Зафиксируем топологическое пространство X. Рассмотрим категорию запятой топологических пространств над X. Топология на Top индуцирует топологию на категории запятой. Получившаяся категория называется большим ситусом, ассоциированным с топологическим пространством X.

Топологии на категории схем[править | править вики-текст]

Функторы между ситусами[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  2. Джонстон П. Теория топосов. — М.: Наука, 1986.

Литература[править | править вики-текст]

  • Artin, Michael. Grothendieck topologies — Harvard University, Dept. of Mathematics, 1962.
  • Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1962-64 — Schémas en groupes — (SGA 3) — vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1970. — P. xv+564.
  • Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1972. — P. xix+525.