Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — важный частный случай факторпространств.

Определение

Пусть $(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)$ — векторное пространство, а $(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)$ — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

$x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0.$

Тогда $X/\,\overset{}{\sim}$ называют факторпространством $X$ по $X_0$ и обозначают $X/X_0$.

Факторотображение

Отображение $\varphi\colon X\mapsto X/X_0$, сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_0$ векторную структуру, задав операции $\langle+,\;\cdot\rangle$ следующим образом:

• $x_1+x_2=\varphi(\varphi^{-1}(x_1)+\varphi^{-1}(x_2))\qquad\forall x_1,\;x_2\in X/X_0;$
• $\lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.$

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

1. $\varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0);$
2. $\mathrm{im}\, {\varphi} = X/X_0$, то есть $\varphi$ — эпиморфизм;
3. $\ker\varphi=X_0$, что эквивалентно $\varphi^{-1}(0)=X_0$.

Связанные определения

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

• кообраз линейного отображения $T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\colon\mathrm{coim}\,T= X/\ker T$;
• кoядро линейного отображения $T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\colon\mathrm{coker}\,T= Y/\mathrm{im}\,T$, при условии что $\mathrm{im}\,T\in\mathrm{Lat}(Y)$.
• коразмерность $X_0\in\mathrm{Lat}(X)\colon\mathrm{codim}\,X_0=\dim X/X_0$;
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой $p\colon\forall w\in X/X_0\quad p_{X/X_0}(w)=\inf p(\varphi^{-1}(w))$.

Сопутствующие теоремы

• Существование снижения на кообраз:

$\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T_c=\{0\}.$

• Теоремы об изоморфизме:

$\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T$

$X_0,\,X_1 \in\mathrm{Lat}(X): X=X_0\oplus X_1 \Rightarrow X/X_0\simeq X_1;\, X/X_1\simeq X_0$

• Теорема о непрерывности факторотображения:

$\varphi\in\mathcal{B}(X,\;X/X_0).$

• $\varphi^{-1}(\ker p_{X/X_0})=\mathrm{cl}\,X_0.$
• $(X/X_0,\;p_{X/X_0})$ — хаусдорфово $\Leftrightarrow X_0=\mathrm{cl}\,X_0$.

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет^{[уточнить]} определить на нём норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты $X\colon X_0,\;X/X_0$ — полны $\Rightarrow X$ — полно.
• $X_0$ — гиперплоскость $\Leftrightarrow \mathrm{codim}\,X_0=1$.
• Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:

$\forall w\in X/X_0,\;\forall x\in\varphi^{-1}(w)\;p_{X/X_0}(w)\leqslant p(x);$

$\forall w\in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x\in\varphi^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w).$

• Лемма о снежинке.

См. также

• Непрерывное отображение
• Замкнутое множество
• Ядро линейного отображения
• Образ отображения

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9.