Факторпространство по подпространству

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — важный частный случай факторпространств.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot) — векторное пространство, а (X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot) — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0.

Тогда X/\,\overset{}{\sim} называют факторпространством X по X_0 и обозначают X/X_0.

Факторотображение[править | править вики-текст]

Отображение \varphi\colon X\mapsto X/X_0, сопоставляющее каждому элементу из X класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на X/X_0 векторную структуру, задав операции \langle+,\;\cdot\rangle следующим образом:

  • x_1+x_2=\varphi(\varphi^{-1}(x_1)+\varphi^{-1}(x_2))\qquad\forall x_1,\;x_2\in X/X_0;
  • \lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.

Факторотображение на таком пространстве линейно.

Свойства факторотображения:

  1. \varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0);
  2. \mathrm{im}\, {\varphi} = X/X_0, то есть \varphi — эпиморфизм;
  3. \ker\varphi=X_0, что эквивалентно \varphi^{-1}(0)=X_0.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:

Сопутствующие теоремы[править | править вики-текст]

  • Существование снижения на кообраз:
\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T_c=\{0\}.
\mathrm{coim}\,T\simeq\mathrm{im}\,T
X_0,\,X_1 \in\mathrm{Lat}(X): X=X_0\oplus X_1 \Rightarrow X/X_0\simeq X_1;\, X/X_1\simeq X_0
\varphi\in\mathcal{B}(X,\;X/X_0).
Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет[уточнить] определить на нём норму, а по норме и метрику.
\forall w\in X/X_0,\;\forall x\in\varphi^{-1}(w)\;p_{X/X_0}(w)\leqslant p(x);
\forall w\in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x\in\varphi^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w).

Комментарии[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..