Факторпространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть есть множество X, на котором введено отношение эквивалентности (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если x эквивалентно y, то y эквивалентно x; если x эквивалентно y, а y эквивалентно z, то x эквивалентно z). Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

[править] Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь соотношение эквивалентностей вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.