Факторпространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть есть множество $X$ , на котором введено отношение эквивалентности $\sim$ (то есть которое обладает следующими свойствами: каждый элемент множества эквивалентен сам себе; если $x$ эквивалентно $y$ , то $y$ эквивалентно $x$ ; если $x$ эквивалентно $y$ , а $y$ эквивалентно $z$ , то $x$ эквивалентно $z$ ).

Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается $X/\!\sim$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из $X$ в множество классов эквивалентности $X/\!\sim$ называется факторотображением.

[править] Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

[править] Примеры

Проективную плоскость $\R P^2$ можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности $(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)$ .
Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра $S^1\times [0,\;1]$ по отношению эквивалентности $(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)$ ( $\varphi\in[-\pi,\;\pi]$ — угловая координата на окружности).